Как найти объём тела вращения с помощью интеграла

  • Объём тела вращения: исходные данные и формулы
  • Решаем задачи вместе
  • Решить задачи самостоятельно, а затем посмотреть решения

Объём тела вращения: исходные данные и формулы

С помощью определённого интеграла можно вычислять не только площади плоских фигур,
но и объёмы тел, образованных вращением этих фигур вокруг осей координат.

Примеры таких тел — на рисунке ниже.

В задачах у нас есть криволинейные трапеции, которые вращаются вокруг оси Ox или
вокруг оси Oy. Для вычисления объёма тела, образованного вращением
криволинейной трапеции, нам понадобятся
:

  • число «пи» (3,14…);
  • если кривая вращается вокруг оси Ox — непосредственно данная в задаче функция («игрек»), задающая вращающуюся кривую, и определённый интеграл от квадрата «игрека»;
  • если кривая вращается вокруг оси Oy) — «икс», выраженный из «игрека» — данной в задаче функции — и определённый интеграл от квадрата «икса»;
  • пределы интегрированияa и b. Если кривая вращается вокруг оси Ox, то это
    значения на оси «иксов» крайних точек фигуры. Если же кривая вращается вокруг оси Oy, то это
    значения крайних точек фигуры на оси «игреков». Если фигура ограничена данными в задаче прямыми — то пределы найти совсем просто:
    например, x1=1 и x2=4
    означает, что нижний и верхний пределы интегрирования равны соответственно 1 и 4. В более сложных случаях для
    нахождения пределов интегрирования нужно найти точки пересечения линий, между которыми заключена вращающаяся кривая.

Итак, тело, которое образуется вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной сверху
графиком функции y = f(x), имеет объём

. (1)

Аналогично объём v тела, полученного вращением вокруг оси ординат
(Oy) криволинейной трапеции выражается формулой

. (2)

При вычислении площади плоской фигуры мы узнали, что площади некоторых фигур могут
быть найдены как разность двух интегралов, в которых подынтегральные функции — те функции, которые
ограничивают фигуру сверху и снизу. Похоже обстоит дело и с некоторыми телами вращения, объёмы которых
вычисляются как разность объёмов двух тел, такие случаи разобраны в примерах 3, 4 и 5.

Решаем задачи вместе

Пример 1. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси
абсцисс (Ox) фигуры, ограниченной гиперболой
, осью абсцисс и прямыми
, .

Решение. Объём тела вращения найдём по формуле (1), в которой ,
а пределы интегрирования a = 1, b = 4:

Пример 2. Найти объём шара радиуса R.

Решение. Рассмотрим шар как тело, получащееся при вращении вокруг оси абсцисс
полукруга радиуса R с центром в начале координат. Тогда в формуле (1) подынтегральная функция
запишется в виде ,
а пределами интегрирования служат —R и R. Следовательно,

Пример 3. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси
абсцисс (Ox) фигуры, заключённой между параболами
и
.

Решение. Представим искомый объём как разность объёмов тел, полученных вращением
вокруг оси абсцисс криволинейных трапеций ABCDE и ABFDE.
Объёмы этих тел найдём по формуле (1), в которой пределы интегрирования равны

и
абсциссам точек B и D пересечения парабол. Теперь можем найти объём тела:

Пример 4. Вычислить объём тора (тором называется тело, получающееся при вращении круга радиуса a вокруг оси, лежащей в его плоскости на расстоянии b от центра круга (). Форму тора имеет, например, баранка).

Решение. Пусть круг вращается вокруг оси Ox (рис. 20). Объём тора можно представить как разности объёмов тел, полученных от вращения криволинейных трапеций ABCDE и ABLDE вокруг оси Ox.

Уравнение окружности LBCD имеет вид

причём уравнение кривой BCD

а уравнение кривой BLD

 

Используя разность объёмов тел, получаем для объёма тора v выражение



Пример 5. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси
ординат (Oy) фигуры, ограниченной линиями
и
.

Решение. Представим искомый объём как разность объёмов тел, полученных вращением
вокруг оси ординат треугольника OBA и
криволинейной трапеции OnBA.
Объёмы этих тел найдём по формуле (2). Пределами интегрирования служат

и
ординаты точек O и B пересечения параболы и прямой. Таким образом, получаем объём тела:

Решить задачи самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 6. Часть плоскости, ограниченной линиями
,
и
,
вращается 1) вокруг оси абсцисс (Ox); 2) вокруг оси
ординат (Oy). Вычислить объём полученного тела вращения.

Правильное решение и ответ.

Пример 7. Найти объём эллипсоида, полученного
вращением эллипса
вокруг оси
абсцисс (Ox).

Правильное решение и ответ.

Ссылка на основную публикацию