Как найти функцию за ее полным дифференциалом?

Сегодня научим Вас возобновлять функцию через интеграл от ее полного дифференциала.
Алгоритм который описывает что за чем нужно делать детально расписан в приведенной дальше статье.
Формула Ньютона-Лейбница для криволинейного интеграла от полного дифференциала имеет вид
Формула Ньютона-Лейбница (1)
где P(x, y) частичная производная функции u по переменной y,
Q(x, y) частичная производная функции u по переменной x.
Для ее использования необходимо лишь убедиться, что частичные производные P(x, y), Q(x, y) равны между собой

Криволинейный интеграл 2 рода (1) упрощается, если контур интегрирования от точки M0(x0,y0) к M(x, y) по прямой заменить ломаной, что состоит из прямых параллельных к осям координат M0M1 но M1M или M0M2 но M2M.
С одной стороны это позволяют свойства криволинейных интегралов.
Из другой такой способ имеет практическую выгоду.
Формула Ньютона-Лейбница, контур
На практике можем превратить в нуль один из дифференциалов под интегралом, если интегрировать вдоль прямых параллельных осям, в замен придется интегрировать вдоль двух отрезков прямых, тоесть вычислять сумму двух интегралов. Детальнее об этом можете почитать в статье об интегрировании полных дифференциалов.

Пример 1 Найти функцию z, если известен полный дифференциал функции
dz=(ydx-xdy)/(3x2-2xy+3y2)

Решение: Разделяем слагаемые при dx, dy, но выписываем для функции z дифференциалы P, Q:

Найдем частичные производные первого порядка функций P(x, y), Q(x, y):
частичные производные
Из равенства частичных производных делаем вывод, что выражение dz является полным дифференциалом.
Функцию z найдем с помощью криволинейного интегралу 2-го рода:

Приведенный криволинейный интеграл от точки (0,0) к точке (x, y) будем вычислять вдоль прямых x=0 и y=y0.
Так как криволинейный интеграл не зависит от контура интегрирования, то кривую интегрирования будем строить в виде ломанной из двух прямых, которые параллельны осям и соединяют крайние точки.
Это делается с целью избавиться от одного из дифференциалов на каждом из промежутков интегрирования.
В этом случае ломаную можно выбрать из следующих прямых

Здесь также записано почему ровные соответствующие дифференциалы.
Вычислим криволинейный интеграл 2 рода для возобновления функции z через полный дифференциал:
интеграл полного дифференциала
Внимательно разберите интегрирование.

 

Пример 2 Найти функцию z, если

Решение: Имеем дифференциал:
полный дифференциал
Здесь обозначено 

Найдем частичные производные первого порядка функций P(x, y) но Q(x, y):

Как видим условие равенства частных производных выполняется , поэтому выражение dz является полным дифференциалом.
Функцию z найдем с помощью криволинейного интеграла 2-го рода:

Полученный криволинейный интеграл от точки (1,0) к точке (x,y) будем вычислять вдоль прямых y=1 и x=x0.
То есть

Возобновим функцию z за ее полным дифференциалом с помощью криволинейного интегралу второго рода
функция за ее полным дифференциалом
При интегрировании выполнили замену переменных
Выписываем конечное значение интеграла 

Впереди Вас ожидают новые решения на криволинейные, поверхностные, тройные и другие интегралы.

Ссылка на основную публикацию