Как найти длину дуги кривой с помощью интеграла

  • Вычисление длины дуги кривой, заданной в прямоугольных координатах
  • Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрически
  • Вычисление длины дуги кривой, заданной в полярных координатах

Задачи на вычисление длины дуги кривой — однотипные. Существуют чёткие схемы для решения таких
задач по формулам, которые отличаются в зависимости от того, какими и сколькими уравнениями задана кривая. Формулы
представляют собой интегралы от корня, под которым в тех или иных сочетаниях присутствуют производные
функций, которыми задана кривая. Следовательно, для того, чтобы вычислять длину дуги кривой, требуется
уметь вычислять производные и интегралы. При вычислении интегралов возможны типичные трудности, связанные,
например, с выбором подходящей подстановки. Эти задачи будем решать в примерах к данному уроку.

Вычисление длины дуги кривой, заданной в прямоугольных координатах

Пусть в прямоугольных координатах на плоскости уравнением y = f(x)
задана кривая.

Найдём длину дуги AB этой кривой, заключённой между вертикальными прямыми
x = a и x = b
(рисунок ниже).

чертёж, на котором показано, из чего складывается длина дуги кривой

Возьмём на дуге AB точки A, M1, M2, …, Mi, …, B
с абсциссами x0 = a, x1, x2, …, xi, …, b = xn
и проведём хорды AM1, M1M2, …, Mn-1B,
длины которых обозначим соответственно через Δs1, Δs2, …, Δsn.
Тогда получим ломаную AM1M2Mn-1B,
вписанную в дугу AB. Длина ломаной равна

.

Длиной s дуги AB называется тот предел, к которому стремится длина
вписанной ломаной, когда длина её наибольшего звена стремится к нулю:

.

Этот предел интегральной суммы равен определённому интегралу

(1).

Формула выше и есть формула для вычисления дуги кривой.

Пример 1. Найти длину дуги кривой
, если
.

Решение. Находим производную данной функции:

Используем формулу (1), подставляя найденную производную:

Производим подстановку:

Далее находим:

Ответ: длина дуги кривой равна 74.

Пример 2. Найти длину окружности
.

Решение. Вычислим сначала длину четвёртой части окружности, лежащей в первом квадранте.
Тогда уравнение дуги будет:

,

откуда находим производную функции:

Используем формулу (1) подставляя в неё производную, получаем:

Ответ: длина всей окружности равна
.

Если в прямоугольных координатах уравнениями
z = x(x) и
y = y(x)
задана пространственная кривая, то длина её дуги вычисляется по формуле:

. (2)

Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрически

Найдём теперь длину дуги кривой в том случае, когда кривая задана параметрическими
уравнениями:

В этом случае длину дуги кривой следует находить по формуле

(3).

Пример 3. Найти длину дуги кривой, заданной параметрическими
уравнениями

если .

Решение. Рассчитаем интервал, в котором будет меняться значение t, если
:

Вычислим производные функций x и y:

Используем формулу (3):

Производим подстановку:

Окончательно находим:

.

Ответ: длина дуги кривой равна 26.

Если параметрическими уравнениями

задана пространственная кривая, то длина её дуги вычисляется по формуле:

. (4)

Пример 4. Найти длину дуги винтовой линии, заданной параметрическими
уравнениями

Решение. Вычислим производные функций x, y и z:

Используем формулу (4):

Вычисление длины дуги кривой, заданной в полярных координатах

Пусть кривая задана в полярных координатах:

Длина её дуги вычисляется по формуле:

(5).

Пример 5. Найти длину дуги кривой, заданной в полярных координатах
.

чертёж, на котором изображена кардиоида - кривая, длину которой требуется решить в задаче на длину дуги кривой

Решение. Вычислим производную функции:

.

Заданная кривая — кардиоида (рисунок выше). Так как она симметрична, вычислим только ту часть длины
дуги, у которой и
и умножим её на 2. Используем формулу (5):

.

Ссылка на основную публикацию