Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле

Сегодня детально проанализируем алгоритм изменения порядка интегрирования в двойном интеграле. Под изменением порядка интегрирования имеем в виду, что задан двойной интеграл в котором интегрирование проводится сначала по «икс», а дальше полученный результат интегрируют по «игрек». Нужно поменять пределы интегрирования, а возможно и разбить на несколько областей интегрирование, для того, чтобы сначала интегрировать по «игрек», а далее по «иксу». В курсе высшей математики подобные примеры учат решать достаточно длительное время, но не во всех это выходит. Схема изменения порядка интегрирования будет расписана на готовых примерах с красиво выполненными рисунками областей интегрирования. Кто-то может подумать, что рисунки здесь ни к чему, но прочитав статью целиком Вы поймете, что без рисунков Вы не сможете понять как изменяются пределы интегрирования, и как их правильно расставлять.

Пример 3.1 Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле:

Решение: Построим область интегрирования ограниченую кривыми
0≤x≤4, 3x2≤y≤12x, где
y=3x2 — парабола с вершиной в точке O(0;0) и ветками вверх;
y=12x — прямая, которая проходит через начало координат O(0;0).
График области интегрирования приведен на рисунке.
двойной интеграл
В этом примере «игрек» изменяется от нижней кривой (параболы) к верхней (прямой), в это время «икс» пробегает значение от 0 до 4.
При изменении порядка интегрирования мы будем пробегать значение от первой кривой по «иксу» (прямой) ко второй (параболы), «игрек» в это время будет проходить значение от 0 ко второй точке пересечения заданных кривых.
Отсюда следует, что для изменения порядка интегрирования нужно найти точки пересечения кривых, дальше для изменения пределов нужно перейти от y(x) к x(y) для этих самых пределов.
Выражаем заданные функции y(x) через переменную y:
y=3x2, отсюда (перед корнем взяли знак «+», поскольку x≥0)
y=12x, отсюда x=y/12.
Найдем точки пересечения:
y=3x2=12x, отсюда

Расставим пределы в заданной области:
D: 0≤y≤48

Выполняем изменение порядка интегрирования 

Вот и вся схема перехода от интегрирования по y,x  к двойному интегралу по x,y.

 

Пример 3.2 Изменить порядок интегрирования: 

Решение: Запишем область интегрирования для заданного примера
a/2≤x≤a , где y=0 — ось абсцисс.
Превратим верхнюю кривую по y к каноническому виду
y=√(2ax-x2), y2=2ax-x2, x2-2ax+a2+y2=a2, (x-a)2+y2=a2 — верхний полукруг с центром в начале координат O(a;0) и радиусом a.
На рисунку наведем область интегрирования
изменение пределов в интеграле

Найдем запись функции через переменную y:
(x-a)^2+y^2=a^2, (x-a)^2 =a^2-y^2,

При изменении порядка интегрирования нашу область необходимо разбить на две подобласти:
D=D1+D2.
Расставим пределы в каждой области:
D1: 0≤y≤a√3/2, a/2≤x≤a;
D2: a√3/2≤y≤a
,
Дальше можем изменить порядок интегрирования
порядок интегрирования
Внимательно пересмотрите фрагмент где область интегрирования разбивается на 2 участка, для чего это делается и от чего зависит.
Многие этого не понимают, поскольку не представляют что делаем, здесь же имеем график из которого видим, что в первой области «икс» изменяется от первой прямой x=a/2 ко второй x=a, во второй области переменная «икс» пробегает значение от полукруга к прямой x=a.

 

Пример 3.3 Изменить порядок интегрирования:

Решение: Область интегрирования ограничена кривыми
0≤y≤1, , где x=y2/2 — парабола с вершиной в точке O(0;0) и ветками вправо
x=√(3-y2), x2=3-y2, x2+y2=(√3)2 — правый полукруг с центром в точке O(0;0) и радиусом R=√3.
Для изменения порядка интегрирования выражаем функции через переменную x:
x=y2/2, y2=2x, y=√(2x);
x2=3-y2, y2=3-x2, y=√(3-x2)
.

Найдем точки пересечения графиков функций:
параболы с горизонтальной прямой

параболы с правой частью полукруга (І четверть)

Подставляем y2 из второго уравнения системы уравнений в первое x=1,5-0,5x2;
При решении получим x=1.
Выполняем построение и разбитие на нужные подобласти интегрирования
двойной интеграл
Для изменения порядка интегрирования нашу область разобьем на три подобласти:
D=D1+D2+D3.
Расставим пределы в каждой области:
D1: 0≤x≤0,5, 0≤y≤√(2x);
D2: 0,5≤x≤1, 0≤y≤1;
D3: 1≤x≤√3, 0≤y≤√(3-x2).

Внимательно разберитесь, как это сопоставить с областями на рисунку и почему именно такое разбитие здесь нужно выполнять.
Запишем как изменится интеграл при изменении порядка интегрирования
изменение порядка интегрирования
Думаю приведенных объяснений достаточно, чтобы самостоятельно научиться менять порядок интегрирования.

 

Пример 3.4 Изменить порядок интегрирования:

Решение: Построим область интегрирования, которая ограничена кривыми
0≤x≤π/2, 0≤y≤sin(x), где y=0 — ось абсцисс;
y=sin(x) — синусоида.
Выражаемый полученные функции через переменную y:
y=sin(x), отсюда x=arcsin(y);
y=0, отсюда x=0.
Графику кривых наведем на рисунку
двойной интеграл

Пределы интегрирования в заданной области поменяются на такие:
D: 0≤y≤1, 0≤x≤arcsin(y).
Записываем двойной интеграл с перечисленными пределами интегрирования

Имеем еще 5 готовых примеров на изменение порядка интегрирования, их Вы можете пересмотреть в следующей статье.

Ссылка на основную публикацию