Изменение пределов интегрирования при изменении порядка интегрирования

Продолжаем разбирать готовы примеры на изменение порядка интегрирования в двойном интеграле. Как определять точки пересечения кривых, искать обратные функции и разбивать область интегрирования на подобласти Вам уже должно быть известно из предыдущего урока. Пересмотрите внимательно приведенные задания и хорошо разберите как изменяем пределы при изменении порядка интегрирования.

Пример 3.5 В двойном интеграле изменить порядок интегрирования:

Решение: Построим область интегрирования ограниченную заданными прямыми
0≤y≤1, y≤x≤2-y, здесь x=y и x=2 — y — прямые.
Построим подынтегральную область и заштрихуем, какие нам нужны при вычислениях
двойной интеграл Видим, что при изменении порядка интегрирования область интегрирования необходимо разделить на две подобласти
D=D1+D2
D1: 0≤x≤1, 0≤y≤x;
D2: 1≤x≤2, 0≤y≤2-x.

Это предопределено тем, что нижний предел по игреку у нас постоянная, а верхняя изменяется при прохождении «иксов» от 0 до 2.
При этом двойной интеграл можем заменить суммой двух

Результат при этом останется одинаковым.

 

Пример 3.6 Изменить порядок интегрирования в кратном интеграле:

Решение: Построим область интегрирования 
0≤y≤1,
Пределы по переменной «икс» описывают x=√(1-y2), x2=1-y2, x2+y2=12 — правый полукруг с центром в начале координат O(0;0) и радиусом 1;
x=-√(1-y2) — левый полукруг с теми же характеристиками.
График области интегрирования приведен ниже
двойной интеграл, изменение пределов
Выражаем полученные функции через переменную y:
x2+y2=12, y=√(1-x2) — верхний полукруг, потому что 0≤y≤1.
Пределы интегралов примут значение:
— 1≤x≤1, 0≤y≤√(1-x2).

Записываем как поменяется двойной интеграл при изменении порядка интегрирования

 

Пример 3.7 Изменить порядок интегрирования:

Решение: Область интегрирования в этом примере ограниченна двумя прямыми
, 0≤y≤x, где y=x — прямая.
Кое-кто мог подумать, что где-то должен быть круг, поскольку верхний предел по «икс» содержит R.
Построим область интегрирования

двойной интеграл
Расставляем пределы при изменении порядка интегрирования
D: , 0≤x≤y.
Двойной интеграл превратится следующим образом:

 

Пример 3.8 Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле:


Решение: Распишем область интегрирования ограниченную кривыми
0≤y≤1,
Приведем к каноническому виду запись
— правый полукруг с центром в точке O(2;1) и радиусом R=1.
Подынтегральная область будет иметь следующий вид
область интегрирования
Выражаем полученные функции через переменную x:
(x-2)2+(y-1)2=1, отсюда (здесь y>0);

Проведем расстановку пределов интегрирования в заданной области D:
1,5≤x≤3,

Можем записать интеграл с измененным порядком интегрирования

 

Пример 3.9 Изменить порядок интегрирования:

Решение: Видим, что в условии задана сумма двух интегралов.
Следовательно, на плоскости область интегрирования состоит из двух областей
D1: 1≤y≤2, 1≤x≤y
D2: 2≤y≤4, 2≤x≤y

где y=x — прямая.
Графически эти области представим рисунком
двойной интеграл
Не пугайтесь подобных заданий, области которые ограничены прямыми легче всего интегрировать.
Расставим пределы в областях D1, D2:
D1: 1≤x≤2, x≤y≤2;
D2: 2≤x≤4, x≤y≤4.
Внимательно пересмотрите почему именно так изменяются пределы интегрирования.
Выполняем изменение порядка интегрирования

Вот так просто можно вычислять, если хорошо знать теорию и уметь интегрировать на практике.
Учитесь и желаем Вам так же легко решать на практике!

Ссылка на основную публикацию