Исследование функций и построение графиков

Опорными точками при исследовании функций и построения их графиков служат характерные точки – точки разрыва, экстремума, перегиба, пересечения с осями координат.
С помощью дифференциального исчисления можно установить характерные особенности изменения функций:
возрастание и убывание, максимумы и минимумы, направление выпуклости и вогнутости графика, наличие асимптот.

Эскиз графика функции можно (и нужно) набрасывать уже после нахождения асимптот и точек экстремума,
а сводную таблицу исследования функции удобно заполнять по ходу исследования.

Обычно используют следующую схему исследования функции.

1. Находят область определения, интервалы непрерывности и точки разрыва функции.

2. Исследуют функцию на чётность или нечётность (осевая или центральная симметрия графика.

3. Находят асимптоты (вертикальные, горизонтальные или наклонные).

4. Находят и исследуют промежутки возрастания и убывания функции, точки её экстремума.

5. Находят интервалы выпуклости и вогнутости кривой, точки её перегиба.

6. Находят точки пересечения кривой с осями координат, если они существуют.

7. Составляют сводную таблицу исследования.

8. Строят график, учитывая исследование функции, проведённое по вышеописанным пунктам.


 Пример. Исследовать функцию

и построить её график.

Решение.

1. Область определения функции – вся числовая прямая. Множеством значений данной функции, как и всякой показательной функции, служит интервал ]0, +∞[. Поэтому график функции расположен выше оси Ox,

2. Напомним: из школьного курса известно, что функция y = f(x) называется чётной, если

для всех x, принадлежащих области определения функции.

.

График чётной функции симметричен относительно оси Oy, так как, по определению, вместе с любой своей точкой (x; y) он содержит и точку (-x; y).

Функция y = f(x) называется нечётной, если

для всех x, принадлежащих области определения функции.

График нечётной функции симметричен относительно начала координат, так как, по определению, вместе с любой своей точкой (x; y) он содержит и точку (-x; -y).

Наша исследуемая функция чётная, так как

её график симметричен относительно оси Oy. Поэтому исследование можно выполнять только для ]0, +∞[.

3. Вертикальных асимптот у графика нет, поскольку функция непрерывна на всей числовой прямой. Горизонтальной асимптотой является ось Ox, так как

Поскольку кривая имеет двустороннюю горизонтальную асимптоту y = 0, у неё не может быть наклонных асиптот.

4. Находим .
Из уравнения
имеем .

Так как при переходе через значение x = 0 меняет знак с плюса на минус, то функция в точке x = 0 переходит от возрастания к убыванию, а (0; 1) – точка максимума.
Касательная к кривой в этой точке горизонтальна, поскольку
.

5. Находим
Из уравнения
получаем
т.е. .

Учитывая чётность функции, исследуем знаки в окрестности только точки
.

Следовательно, при x = 1 кривая
меняет выпуклость на вогнутость. Так как
то

точка перегиба кривой. Угловой коэффициент касательной к кривой в этой точке
.
Поэтому в точке перегиба касательная образует с осью Ox тупой угол.

6. График не пересекает оси Ox, поскольку он расположен выше неё. Найдём точки пересечения кривой с осью Oy: полагая x=0, имеем

Тем самым получим точку (0; 1) графика, которая совпадает с
точкой максимума.

7. Составим сводную таблицу исследования функции, куда внесём все характерные точки и интервалы между ними. Учитывая чётность функции, получаем следующую таблицу:

Особенности графика

[-1, 0[

+

Возрастает

Выпуклый

0

0

1

(0; 1) – точка максимума

]0, 1[

Убывает

Выпуклый

1

0

— точка перегиба, образует с осью Ox тупой угол

]1, +∞[

+

Убывает

Вогнутый

+∞

+

 

y = 0 – горизонтальная асимптота

 

8. Используя результаты исследования, строим график функции (см. рисунок).

  • Что такое производная
  • Найти производную: алгоритм и примеры решений
  • Производные произведения и частного функций
  • Производная суммы дробей со степенями и корнями
  • Производные простых тригонометрических функций
  • Производная сложной функции
  • Производная логарифмической функции
  • Дифференциал функции
  • Дифференциал сложной функции, инвариантность формы дифференциала
  • Уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции
  • Правило Лопиталя
  • Частные производные
  • Применение производной к исследованию функций
    • Экстремумы функции
    • Наименьшее и наибольшее значения функции
    • Асимптоты
    • Возрастание, убывание и монотонность функции
    • Выпуклость и вогнутость графика функции, точки перегиба
    • Полное исследование функций и построение графиков
    • Функции двух и трёх переменных
    • Экстремумы функции двух переменных
    • Условные экстремумы и функция Лагранжа
Ссылка на основную публикацию