Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени

Из приведенного материала Ви научитесь вычислять интегралы от произведения тригонометрических выражений, которые возведены до определенного степеня. С виду они достаточно сложные

но зная правила понижения степени подынтегральной функций их решение очень просто, в чем Вы скоро убедитесь. Существует три правила понижения степени, основанные на четности или нечетности показателей.

Правила понижения степени

I. Если хотя бы один из показателей степени подынтегральной функции является нечетным числом, например то ее можно превратить к следующему виду:

В таких случаях применяют подстановку

При этом выходной интеграл примет вид

Решение сводится к интегрированию суммы степенных функций.

Если , то преобразование будет следующим

С конечного выражения видим, что замена будет другой

Начальный интеграл запишется в следующей форме

Опять получаем сумму интегралов.

II. Если оба показателя — четные числа, то используют подстановку, которая заимствовано из тригонометрии

Применение данных формул позволяет снизить степень подынтегральной функции, однако при больших значениях степеней по данному правилу несколько больше вычислений, чем за первым.

ІІІ. Показатели нечетные числа. В таких случаев используют следующую тригонометрическую равенство чтобы снизить степень

Дальнейшее интегрирование сводится к использованию второго правила. Стоит отметить, что правило хорошо тем, что в подынтегральной функции получаем только парные аргументы

На этом правила заканчиваются и пора переходить к практическим вычислениям.

Пример 1.

Вычислить интегралы

а)

б)

в)

Решение.

а) Применим к подынтегральной функции первое правило. При подстановке

подынтегральная функция примет вид

Интегрируя полученную функцию получим значение

Возвращаемся к использованной замене переменных и меняем обратно Интеграл можно переписать в конечном виде

б) К подынтегральной функции применим замену

и преобразуем к следующему виду

Выполним интегрирование

Возвращаясь к предыдущей переменной, интеграл будет иметь вид

в) Для этого интеграла нужно применять второе правило. Преобразуем подынтегральное функцию согласно правилу понижения степеней

Проведем интегрирование каждого из слагаемых

Подытожим слагаемые, сгруппировав предварительно подобные

————————————————

Подобных примеров в интернете и литературе очень много. Правила понижения степени для всех остаются одинаковыми, потому хорошо выучите в каких случаях их применять. Все остальное сведется к интегрированию, с которым у Вас при вычислении не должно возникать проблем.

Ссылка на основную публикацию