Интегрирование тригонометрических функций: методы и примеры

Рассмотрим интегралы, в которых подынтегральная функция представляет собой
произведение синусов и косинусов первой степени от икса, умноженного на разные множители, то есть
интегралы вида

 (1)

Воспользовавшись известными тригонометрическими формулами

 (2)
 (3)
 (4)
можно преобразовать каждое из произведений в интегралах вида (31) в алгебраическую сумму и проинтегрировать по формулам

 (5)

и

 (6)

Решение. По формуле (2) при

имеем

Поэтому

Применяя далее формулу (5), получим

Решение. По формуле (3) при
получаем следующее
преобразование подынтегрального выражения:

Поэтому

Применяя далее формулу (6), получим

Для самопроверки при расчетах можно воспользоваться
калькулятором неопределённых интегралов онлайн.

Решение. По формуле (4) при
получаем следующее
преобразование подынтегрального выражения:

Применяя формулу (6), получим

Рассмотрим теперь интегралы от функций, представляющих собой произведение степеней синуса и косинуса одного и того же аргумента, т.е.

 (7)

В частных случаях один из показателей (m или n) может равняться нулю.

При интегрировании таких функций используется то, что чётную степень косинуса можно выразить через синус, а дифференциал синуса равен cos x dx (или чётную степень синуса можно выразить через косинус, а дифференциал косинуса равен — sin x dx).

Следует различать два случая: 1) хотя бы один из показателей m и n нечётный; 2) оба показателя чётные.

Пусть имеет место первый случай, а именно показатель n = 2k + 1 — нечётный. Тогда, учитывая, что

получим

Подынтегральное выражение представлено в таком виде, что одна его часть – функция только синуса, а другая – дифференциал синуса. Теперь с помощью замены переменной t = sin x решение сводится к интегрированию многочлена относительно t. Если же только степень m нечётна, то поступают аналогично, выделяя множитель sinx, выражая остальную часть подынтегральной функции через cos x и
полагая t = cos x. Этот приём можно использовать и
при интегрировании частного степеней синуса и косинуса, когда хотя бы один из показателей — нечётный.
Всё дело в том, что частное степеней синуса и косинуса — это частный случай их произведения: когда тригонометрическая
функция находится в знаменателе подынтегрального выражения, её степень — отрицательная. Но бывают и случаи частного
тригонометрических функций, когда их степени — только чётные. О них — следующем абзаце.

Если же оба показателя m и n – чётные, то, используя тригонометрические формулы

понижают показатели степени синуса и косинуса, после чего получится интеграл того же типа, что и выше.
Поэтому интегрирование следует продолжать по той же схеме. Если же один из чётных показателей — отрицательный,
то есть рассматривается частное чётных степеней синуса и косинуса, то данная схема не годится. Тогда используется
замена переменной в зависимости от того, как можно преобразовать подынтегральное выражение. Такой случай будет
рассмотрен в следующем параграфе.

Пример 4. Найти интеграл от тригонометрической функции

Решение. Показатель степени косинуса – нечётный. Поэтому представим

в виде

и произведём замену переменной t = sin x (тогда dt = cos x dx). Тогда получим

Возвращаясь к старой переменной, окончательно найдём

Для самопроверки при расчетах можно воспользоваться
калькулятором неопределённых интегралов онлайн.

Пример 5. Найти интеграл от тригонометрической функции

.

Решение. Показатель степени косинуса, как и в предыдущем примере – нечётный, но больше. Представим

в виде

и произведём замену переменной t = sin x (тогда dt = cos x dx). Тогда получим

Раскроем скобки

и получим

Возвращаясь к старой переменной, получаем решение

Пример 6. Найти интеграл от тригонометрической функции

Решение. Показатели степени синуса и косинуса – чётные. Поэтому преобразуем подынтегральную функцию так:

Тогда получим

Во втором интеграле произведём замену переменной, полагая t = sin2x. Тогда (1/2)dt = cos2x dx. Следовательно,

а

Окончательно получаем

Пример 7. Найти интеграл от тригонометрической функции

.

Посмотреть правильное решение и ответ.

Пример 8. Найти интеграл от тригонометрической функции

.

Решение. Произведём замену переменной: ,
тогда . Получившееся
подынтегральное выражение легко интегрируется по таблице интегралов:

.

Возвращаясь к первоначальной переменной, окончательно получаем:

Для самопроверки при расчетах можно воспользоваться
калькулятором неопределённых интегралов онлайн.

Пример 9. Найти интеграл от тригонометрической функции

.

Решение. Преобразуем тангенс в отношение синуса и косинуса:

.

Произведём замену переменной: ,
тогда . Получившееся
подынтегральное выражение представляет собой табличный интеграл со знаком минус:

.

Возвращаясь к первоначальной переменной, окончательно получаем:

.

Пример 10. Найти интеграл от тригонометрической функции

.

Решение. Произведём замену переменной: ,
тогда .

Преобразуем подынтегральное выражение, чтобы применить тригонометрическое тождество
:

Производим замену переменной, не забывая перед интегралом поставить знак минус (смотрите
выше, чему равно dt). Далее раскладываем подынтегральное
выражение на множители и интегрируем по таблице:

.

Возвращаясь к первоначальной переменной, окончательно получаем:

.

Для самопроверки при расчетах можно воспользоваться
калькулятором неопределённых интегралов онлайн.

Пример 11. Найти интеграл от тригонометрической функции

.

Посмотреть правильное решение и ответ.

Универсальную тригонометрическую подстановку можно
применять в случаях, когда подынтегральное выражение не подпадает под случаи, разобранные в предыдущих
параграфах. В основном, когда синус или косинус (или и то, и другое) находятся в знаменателе дроби. Доказано, что синус и косинус
можно заменить другим выражением, содержащим тангенс половины исходного угла следующим образом:

где .

Тогда .

Но заметим, что универсальная тригонометрическая подстановка часто влечёт за собой
довольно сложные алгебраические преобразования, поэтому её лучше применять, когда никакой другой метод
не работает. Разберём примеры, когда вместе с универсальной тригонометрической подстановкой используются
подведение под знак дифференциала и метод неопределённых коэффициентов.

Пример 12. Найти интеграл от тригонометрической функции

.

Решение. Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Тогда
.

Дроби в числителе и знаменателе умножаем на ,
а двойку выносим и ставим перед знаком интеграла. Тогда

Чтобы в результате преобразований прийти к табличному интегралу, попытаемся получить в
знаменателе полный квадрат. Для этого умножим числитель и знаменатель подынтегрального выражения на 2.
Применяем интегрирование подведением под знак дифференциала. Получим

К полученному результату преобразований можем теперь применить
табличный интеграл 21. В результате
получаем окончательное решение:

.

Пример 13. Найти интеграл от тригонометрической функции

.

Решение. Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Тогда
.

Дроби в числителе и знаменателе умножаем на ,
а двойку выносим и ставим перед знаком интеграла. Тогда

.

Чтобы в результате преобразований прийти к табличному интегралу, попытаемся получить в
знаменателе полный квадрат. Для этого умножим числитель и знаменатель подынтегрального выражения на 3.
Применяем интегрирование подведением под знак дифференциала. Получим

К полученному результату преобразований можем теперь применить
табличный интеграл 21. В результате
получаем окончательное решение:

.

Пример 14. Найти интеграл от тригонометрической функции

.

Решение. Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Тогда

Используем метод неопределённых коэффициентов. Получим следующее подынтегральное выражение:

Чтобы найти коэффициенты, решим систему уравнений:

Теперь получаем:

Используем подведение под знак дифференциала:

К последнему слагаемому применяем замену переменной ,
тогда .
Получаем:

Преобразуем и вернём на место первоначальную переменную и окончательно получим решение: