Интегрирование рациональных функций от sin(x),cos(x)

В данном уроке будут рассмотрены интегралы вида R(sin(x),cos(x))

Такая запись указывает на то, что над синусом и косинусом проводятся исключительно рациональные операции: сложение и вычитание, умножение на константы, возведение к целому степени, деление. Проще говоря, подынтегральная функция — это рациональная функция от синуса и косинуса.

Такие интегралы сводятся к интегралам от рациональной функции нового аргумента подстановкой, которую еще называют универсальной:

тогда

Бывают примеры, когда приведенная подстановка приводит к сложным интегралам. Поэтому для ряда случаев, в силу четности или нечетности подынтегральной функции, существуют более простые подстановки:

а) если

б) если

в) если

Пример 1.

Вычислить интегралы

а)

б)

в)

Решение.

а) Применим тригонометрическую подстановку

На ее основе получим

Подставим в интеграл и проинтегрируем

б) К данному примеру применяем нужную замену

в) Применяем замену из примера б)

——————————————-

Интегрирование рациональных функций от sin(x),cos(x) довольно сложное, поэтому следует бить внимательными при упрощении подынтегральной функции, а также при самом интегрировании. Самая малая опечатка может привести к неправильному результату, не торопитесь вычисляя подобные интегралы.

 

Ссылка на основную публикацию