Интегрирование иррациональных функций: способы и примеры решений

  • В подынтегральном выражении — различные дробно-рациональные функции
  • Корень из квадратного трёхчлена и подстановки Эйлера
  • Интегралы от дифференциального бинома и подстановки Чебышева
  • Частный случай квадратичных иррациональностей

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно
посмотреть ответы.

Рассмотрим интегралы от иррациональных функций, то есть функций, содержащих
переменную (обычно икс) под корнем или, что то же самое — в дробной степени. Интегралы от таких функций
с помощью подстановок приводятся к интегралам от рациональных функций и могут быть проинтегрированы
окончательно.

В подынтегральном выражении — различные дробно-рациональные функции

Разберём интегралы, где в подынтегральном выражении переменная присутствует под корнем.
В формально обобщённом виде речь идёт об интегралах вида

,

где λ, … μ
рациональные числа (целые или дробные).

В примерах мы увидим, что переменная икс, присутствующая под корнем, присутствует там
без степени. В примере 3 икс присутствует также в квадрате, но при этом — не по корнем. То есть корни
отдельно, степени — отдельно.

В этом случае важное значение имеет наименьшее общее кратное чисел λ, … μ
(или общий знаменатель, если эти числа дробные).
Обозначим это наименьшее общее кратное (общий знаменатель) через n. Рассматриваемые
интегралы от иррациональных функций можно найти, используя следующую подстановку:

Тогда каждая дробная степень «икса» выразится через целую степень «тэ» и подынтегральная
функция преобразуется в рациональную функцию от «тэ».

Пример 1. Найти интеграл от иррациональной функции
.

Решение. Преобразуем все корни икса в степени. Выписываем степени при иксе в
подынтегральном выражении — все, которые там находим:

.

Находим наименьшее общее кратное знаменателей этих чисел: 4.

Поэтому используем следующую подстановку:

Подставляем и преобразуем:

Начинаем интегрировать:

Возвращаясь к переменной икс, окончательно находим:

.

Для самопроверки при расчетах можно воспользоваться
калькулятором неопределённых интегралов онлайн.

Пример 2. Найти интеграл от иррациональной функции
.

Решение. Используем следующую подстановку:

Подставляем и преобразуем:

Интегрируем и получаем:

Возвращаясь к переменной икс, окончательно находим:

.

Найти интеграл от иррациональной функции самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 3. Найти интеграл от иррациональной функции
.

Посмотреть правильное решение и ответ.

Пример 4. Найти интеграл от иррациональной функции

.

Посмотреть правильное решение и ответ.

Для самопроверки при расчетах можно воспользоваться
калькулятором неопределённых интегралов онлайн.

Корень из квадратного трёхчлена и подстановки Эйлера

Если дан интеграл иррациональной функции вида

,

то есть в подынтегральном выражении — корень из квадратного трёхлчена, то можно
воспользоваться подстановками Эйлера.

Начинать нужно с разложения квадратного трёхчлена на множители:

,

где x1, x2
корни квадратного уравнения.

В зависимости от характера корней квадратного уравнения используются следующие
подстановки Эйлера.

1. Если x1, x2
действительные числа (не комплексные), то используется подстановка

(первая подстановка Эйлера).

2. Если x1, x2
комплексные числа и a > 0, то используется подстановка

(вторая подстановка Эйлера).

3. Если x1, x2
комплексные числа и c > 0, то используется подстановка

(третья подстановка Эйлера).

Пример 5. Найти интеграл от иррациональной функции
.

Решение. Разложим квадратный трёхчлен на множители:

Используем первую подстановку Эйлера:

Подставляем:

Интегрируем и получаем:

Возвращаясь к переменной икс, сначала долго занимаемся преобразованием выражений, а затем окончательно находим:

Для самопроверки при расчетах можно воспользоваться
калькулятором неопределённых интегралов онлайн.

Пример 6. Найти интеграл от иррациональной функции
.

Используем вторую подстановку Эйлера:

Подставляем:

Интегрируем и получаем:

.

Возвращаясь к переменной икс, окончательно находим:

.

Найти интеграл от иррациональной функции самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 7. Найти интеграл от иррациональной функции
.

(использовать третью подстановку Эйлера).

Посмотреть правильное решение и ответ.

Интегралы от дифференциального бинома и подстановки Чебышева

Интегралы вида

,

где mnp
рациональные числа (целые или дробные), называются интегралами от дифференциального бинома. В примерах
мы увидим, что в подынтегральных выражениях переменная икс присутствует не только под корнем: она под
корнем, но ещё и в степени. В этом главное отличие рассматриваемых интегралов от тех, которые были
рассмотрены в первом параграфе.

Чтобы найти такие интегралы, используются подстановки Чебышева.

1. Если p — целое число, то используется
подстановка

,

где k — наименьшее общее кратное
знаменателей m и n.

2. Если
целое число, то используется подстановка

,

где s — знаменатель дроби p.

3. Если
целое число, то используется подстановка

,

где s — знаменатель дроби p.

Русский математик П.Л. Чебышев доказал, что только в перечисленных трёх случаях
интеграл от дифференциальных биномов с рациональными показателями степени выражается через элементарные
функции.

Для самопроверки при расчетах можно воспользоваться
калькулятором неопределённых интегралов онлайн.

Пример 8. Найти интеграл от иррациональной функции
.

Преобразуем корни в степени и избавимся от дроби:

Здесь p = -1 (целое число).
Чтобы избавиться от степени икса в скобках, сделаем промежуточную подстановку

:

.

Теперь сделаем следующую подстановку:

Подставляем и получаем:

Возвращаемся к переменной z:

.

Возвращаясь к переменной икс, окончательно находим:

.

Пример 9. Найти интеграл от иррациональной функции
.

Преобразуем корни в степени и избавимся от дроби:

.

Здесь m = 3, n = 2,
,
(целое число).

Cделаем промежуточную подстановку

:

.

Теперь, чтобы избавиться от дробной степени выражения в скобках, сделаем следующую подстановку:

Подставляем:

.

Интегрируем и получаем:

.

Возвращаемся к переменной z:

.

Возвращаясь к переменной икс, окончательно находим:

.

Для самопроверки при расчетах можно воспользоваться
калькулятором неопределённых интегралов онлайн.

Найти интеграл от иррациональной функции самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 10. Найти интеграл от иррациональной функции
.

Подсказка:


целое число.

Посмотреть правильное решение и ответ.

Частный случай квадратичных иррациональностей

Рассмотрим интеграл от иррациональной функции вида

, (1)

где в знаменателе — квадратный корень из квадратного трёхчлена.

Чтобы проинтегрировать любой интеграл такого вида, необходимо уметь находить интегралы

и .

Формула для нахождения первого из них:

  (2)

Второй интеграл находится по формуле

  (3)

Формулы (2 и (3) можно условно считать табличными интегралами. Если в подкоренном выражении интеграла (1) выделить полный квадрат, то при a > 0 это выражение примет вид

а при a < 0 – вид

После подстановки t = x – m в первом случае интеграл (1) приводится к интегралу (3), во втором – к интегралу (2).

Пример 11. Найти интеграл от иррациональной функции

Решение. Выделим в подкоренном выражении полный квадрат:

Произведя теперь подстановку

(тогда dt = dx), имеем

причём при интегрировании воспользовались формулой (3). Возвращаясь к старой переменной, окончательно получим

Найти интеграл от иррациональной функции самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 12. Найти интеграл от иррациональной функции

Посмотреть правильное решение и ответ.

Ссылка на основную публикацию