Интегрирование дробных функций

Готовые интегралы функций приведены из контрольной работы для студентов 1, 2 курсов математических факультетов. Решения помогут изучить не только схемы интегрирования, но и познакомят с разнообразными приемами вычисления, облегчат вычитание интегралов. Некоторые задания сложные и их могут встретить в обучении лишь часть математиков, экономистов, статистов, физиков.

Интегрирование дробных функций

Пример 15. Следующие примеры на схему интегрирование дробей методом разложения. Сначала знаменатель расписываем на простые множители, далее в зависимости от их вида дробную функцию записываем через простые дроби с неизвестными постоянными.
интеграл от дроби
расписание дробной функции на простые множители
Правую сторону сводим к общему знаменателю
сведение к общему знаменателю
и раскрыв скобки группируем слагаемые при одинаковых степенях «икс».
числитель дроби
Приравняв коэффициенты при одинаковых показателях переменной приходим к системе линейных уравнений (СЛАУ) с которой находим постоянные. Систему можно вычислять методом Крамера, Гаусса, можете хоть пользоваться «Эксель» или МатКад. Главное найти константы
система уравнений
Далее значение подставляем в разложение дробной функции и интегрируем
интегрирования дробной функции
Пример 16. Задано интеграл дробной рациональной функции. Сначала разложим знаменатель на простые множители
интеграл, задание
Далее записываем под интеграл функцию через сумму простых дробей с неизвестными множителями
разложение на простые дроби
Сводим правую сторону под общий знаменатель
сведения под общий знаменатель
и из условия равенства числителей
числитель
составляем систему линейных уравнений для определения 4 неизвестных постоянных.
система уравнений 4 порядка
После вычисления СЛАУ возвращаемся к разложению и выполняем интегрирования дробей
Интегрирование
исчисление интеграла
Пример 17. Еще одна задача на интегрирование дробной функции. По приведенной выше схеме вычислений расписываем знаменатель
пример на интеграл
и записываем простые дроби для отыскания 3 постоянных.
разложение на простые множители
После возведения под общий знаменатель из коэффициентов при одинаковых степенях переменной
сведение под общий знаменатель
составляем систему уравнений. На этот раз она достаточно проста и коэффициенты разложения находим из формул
система уравнений 3 порядка
Далее подставляем множители в дроби и проводим интегрирование
интегрирования дробей
В результате вычислений получим два логарифма от модулей функций. Во втором слагаемом модуль можно не ставить, поскольку подмодульная функция везде положительная.
Остальные готовые ответы по контрольной работе на интегралы Вы найдете в следующих публикациях. Задания на интегралы и схемы их вычислений помогут разобраться с большинством простых интегралов.

Готовые решения контрольных с интегрирования

Ссылка на основную публикацию