Интегралы от рациональных дробей

Примеры на интегрирование функций взято из материалов контрольной работы которую задавали студентам экономических факультетов. Для экономии Вашего времени сами условия заданий не выписывали, везде нужно или «Найти неопределенный интеграл» или «Вычислить интеграл». Текста в комментариях к каждому заданию ровно столько, сколько нужно Вам для усвоения материала и изучение методики и схем интегрирования.

Интегрирование рациональных дробей

Пример 15. Сначала раскладываем знаменатель на простые множители
интеграл
В результате функция под интеграл сведется к простейшим дробям с неизвестными постоянными.
расписание функции на простые дроби
Для их вычисления сводим слагаемые под общий знаменатель
сведения под общий знаменатель
При равных знаменателях расписываем и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях «икс» по обе стороны знака равенства.
числитель дроби
В результате получим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) для вычисления постоянных A, B, C
система линейных уравнений
Решение СЛАУ можете находить методом Крамера если большинство коэффициентов ненулевые, или методом Гаусса в противном случае. При известных постоянных переходим к интегрированию.
интегрирования рациональной дроби
Пример 16. Знаменатель дроби раскладываем на простые множители. Один из корней находим среди делителей свободного члена (4={4;-4;2;-2;1;-1}).
интеграл от дроби
Раскладываем дробь на слагаемые с неизвестными постоянными
расписание на простые дроби
Далее сводим под общий знаменатель
сведение к общему знаменателю дробей
и после раскрытия скобок в числителе группируем слагаемые
числитель дроби
Далее составляем систему уравнений и вычисляем коэффициенты
СЛАУ и решение
Постоянные подставляем в интеграл и находим его значение
интегрирования рациональной дроби

Методика возведения под табличные интегралы

Пример 17. В данном задании необходимо в числителе дробной функции выделить множитель, который получим при расписании знаменателя к разнице или сумме квадратов. Далее его вносим под дифференциал и интегрируем
интегрирования квадратных трехчленов
интегрування
Здесь пропущено переход от последнего интеграла к арктангенсу, поэтому попробуйте преобразовать самостоятельно. Практическая работа никому еще не повредила, а многих даже изменила в лучшую сторону.
Пример 18. Чтобы избавиться от иррациональности в числителе введем степенную замену переменных. При этом интеграл разложится на две слагаемые, которые имеют простой для интегрирования вид
замена переменных под интегралом
Если посмотреть на ответ то виглидит все просто и понятно, но как только приходится иметь дело с подобным заданием самостоятельно сразу руки опускаются и все знания куда-то исчезают. Чтобы такого не было решайте аналогичные примеры самостоятельно. Их можно придумать на основе этих примеров, или поискать например в Демидовича.
Пример 19. В знаменателе имеем иррациональную функцию, поэтому чтобы ее раскрыть за новую переменную выбираем такую, чтобы при ее подстановке не иметь корней. В результате замены интеграл сведется к табличной формуле
иинтегрирование
интегрирование
После интегрирования возвращаемся к выполненной замене.
Остальные ответы в следующих материалах. Помните что такого рода примеры задают на контрольной или тестах и внимательно разбирайте ответы к заданиям.

Готовые решения контрольных с интегрирования

Ссылка на основную публикацию