Интегралы от функций, содержащих квадратное уравнение в знаменателе

Данная статья учит решать интегралы в которых в знаменателе имеем квадратное уравнение

Для нахождения таких интегралов требуется преобразование их в формулы интегрирования, для этого необходимо сначала выделить полный квадрат с квадратного уравнения.

где

Дальнейшее интегрирование сводится к отысканию табличных интегралов. Рассмотрим конкретные примеры, для закрепления данного материала.

Пример 1.

Вычислить интегралы

а)

б)

в)

Решение.

а) Выделим полный квадрат из уравнения

Искомый интеграл примет вид

Для сведения к табличному виду интеграла выполним замену переменных

и проинтегрируем

б) Данный тип интеграла сложнее предыдущего тем, что в числителе имеем функцию от Такие интегралы находят следующим образом. Сначала делаем замену переменных в интеграле

Для получения в числителе выражения порядке умножим и разделим наш числитель на 2.

Получим

Если в числителе вместо имели , то интегрирование можно свести к отысканию одного интеграла. Однако такой вариант выбран специально, чтобы научить Вас больше. С такой заменой разбиваем интеграл на два слагаемых

Замену мы делали для того, чтобы легко было свести первое слагаемое к табличному виду

В нашем случае получим

Второе слагаемое сводится по схеме, приведенной в предыдущем примере. Для этого в знаменателе выделяем полный квадрат

Далее находим интеграл

Окончательно, искомый интеграл равен сумме двух

Схема возведения хорошо работает когда в знаменателе легко выделяется полный квадрат, в других случаях приходится иметь дело с корнями.

Также встречаются примеры когда в числителе встречаются функции высших порядков — квадратные уравнения и старше. В таких случаях их делим на знаменатель и сводим к рассматриваемому виду.

в) Делаем замену переменных

Чтобы получить в числителе выражение, содержащее умножим и разделим наш числитель на 2:

Наш интеграл запишем в виде суммы двух

Первое слагаемое даст следующий вклад

Для нахождения второго выделим в знаменателе полный квадрат

Применяя табличную формулу ко второму слагаемому, получим

Суммируя слагаемые, будем иметь

Рассмотренные три примера описывают самые распространенные интегралы данной темы. Если Вам встретятся сложные интегралы попробуйте найти решение самостоятельно, если не сможете решить обращайтесь к нам.

Практикуйте и подобные интегралы не будет у Вас препятствием в обучении.

Ссылка на основную публикацию