Интеграл по замкнутому контуру, формула Грина, примеры

Если дан криволинейный интеграл, а кривая, по которой происходит интегрирование —
замкнутая (называется контуром), то такой интеграл называется интегралом по замкнутому контуру и
обозначается следующим образом:

.

Область, ограниченную контуром L обозначим D. Если функции
P(x, y), Q(x, y)
и их частные производные и
— функции, непрерывные в
области D, то для вычисления криволинейного интеграла можно воспользоваться формулой Грина:

.

Таким образом, вычисление криволинейного интеграла по замкнутому контуру сводится к
вычислению двойного интеграла по области D.

Формула Грина остаётся справедливой для всякой замкнутой области, которую можно проведением
дополнительных линий на конечное число простых замкнутых областей.

Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл

,

если L — контур треугольника OAB,
где О(0; 0), A(1; 2) и B(1; 0).
Направление обхода контура — против часовой стрелки. Задачу решить двумя способами: а) вычислить
криволинейные интегралы по каждой стороне треугольника и сложить результаты; б) по формуле Грина.

Решение.

а) Вычислим криволинейные интегралы по каждой стороне треугольника. Сторона
OB находится на оси Ox,
поэтому её уравнением будет y = 0. Поэтому
dy = 0 и можем вычислить криволинейный
интеграл по стороне OB:

Уравнением стороны BA будет
x = 1. Поэтому
dx = 0. Вычисляем криволинейный
интеграл по стороне BA:

Уравнение стороны AO составим,
пользуясь формулой уравнения прямой, проходящей через две точки:

.

Таким образом,
dy = 2dx. Вычисляем криволинейный
интеграл по стороне AO:

Данный криволинейный интеграл будет равен сумме интегралов по краям треугольника:

.

б) Применим формулу Грина. Так как ,
, то
. У нас есть всё для того,
чтобы вычислить данный интеграл по замкнутому контуру по формуле Грина:

Как видим, получили один и тот же результат, но по формуле Грина вычисление
интеграла по замкнутому контуру происходит значительно быстрее.

Пример 2. Пользуясь формулой Грина, вычислить криволинейный интеграл

,

где L — контур OAB,
OB — дуга параболы y = x²,
от точки О(0; 0) до точки A(1; 1),
AB и BO —
отрезки прямых, B(0; 1).

Решение. Так как функции ,
, а их частные производные
, ,
D — область, ограниченная контуром L,
у нас есть всё, чтобы воспользоваться формулой Грина и вычислить данный интеграл по замкнутому контуру:

Пример 3. Пользуясь формулой Грина, вычислить криволинейный интеграл

,
если L — контур, который образуют линия
y = 2 − |x| и ось
Oy.

Решение. Линия y = 2 − |x|
состоит из двух лучей: y = 2 − x, если
x ≥ 0 и
y = 2 + x, если x < 0.

Имеем функции ,
и их частные производные
и
. Подставляем всё в
формулу Грина и получаем результат:

Пример 4. С помощью формулы Грина вычислить криволинейный интеграл

,

если L — окружность
.

Решение. Функции ,
и их частные производные
и
непрерывны в замкнутом
круге . Подставляем всё в
формулу Грина и вычисляем данный интеграл: