Функция двух и более переменных. Её область определения

  • Функции нескольких переменных: основные определения
  • Область определения функции нескольких переменных
  • Функции нескольких переменных — пример из экономики

Функции нескольких переменных: основные определения

При изучении многих закономерностей в естествознании и экономике
приходится встречаться с функциями от двух (и более) независимых переменных.

Определение (для функции двух переменных). Пусть
X, Y и
Z — множества. Если каждой паре (x, y)
элементов из множеств соответственно X и Y
в силу некоторого закона f ставится в
соответствие один и только один элемент z из
множества Z, то говорят, что задана функция
двух переменных
z = f(xy).

В общем случае область определения функции двух переменных геометрически может
быть представлена некоторым множеством точек (xy) плоскости xOy.

Подобно тому, как функция y = f(x) геометрически изображается графиком, можно геометрически истолковать и уравнение z = f(xy).

Ставя в соответствие каждой точке
аппликату z = f(xy),
мы получим некоторое множество точек
(xyz) трёхмерного пространства –
чаще всего некоторую поверхность. Поэтому равенство z = f(xy) называют уравнением поверхности.

Из аналитической геометрии известно, что множество всех
упорядоченных троек чисел (xyz) образует координатное
пространство. При этом каждой тройке (xyz) в пространстве
соответствует точка М(xyz) и наоборот.

Аналогично можно дать определение функции четырёх переменных
u = f(xyzt). В этом случае
множество упорядоченных четвёрок чисел (xyzt)
образуют так называемое четырёхмерное пространство, а каждая четвёрка (xyzt)
называется точкой этого пространства. Однако область определения функции четырёх
переменных уже не имеет наглядного геометрического истолкования.


Забавный, хотя и нематематический случай функции нескольких переменных можно найти
в романе Джерома К. Джерома «Трое в лодке, не считая собаки». Герой романа сообщает: «Как-то раз я зашёл
в библиотеку Британского музея, чтобы навести справку о средстве против пустячной болезни, которую я
где-то подцепил, — кажется, сенной лихорадки. Я взял справочник и нашёл там всё, что мне было нужно…»
Итак, описана функция одной переменной — найти симптомы одного заболевания. Дальше: «… а потом, от
нечего делать, начал перелистывать книгу, просматривая то, что там сказано о разных других болезнях.» И
герой находил у себя симптомы всех болезней, о которых читал: «Так я добросовестно перебрал все буквы
алфавита, и единственная болезнь, которой я у себя не обнаружил, была родильная горячка». То есть, самая
настоящая функция нескольких (многих) переменных — обнаружить у себя симптомы болезней (нескольких или даже
многих), о которых человек
прочёл. Впрочем, случай не такой уж и нематематический. Если условиться считать, что закон, которым задаётся
функция, заключается в суммировании чисел, означающих число симптомов, а на выходе — число, которое следует
толковать как степень нервного истощения героя. У этой функции есть и область определения — множество
симптомов всех болезней, которые можно найти в справочниках.


Пример 0 (наиболее общий). Рассмотрим температуру
t в пункте p
земной поверхности P. Таким образом, возникает
температурная функция ,
аргументом которой является точка p
поверхности P, а значением
t = T(p)
температура в этой точке. Чтобы привести эту функцию к числовой записи, точку
p характеризуют некоторыми числовыми параметрами,
например, широтой и
долготой .
После этого вместо t = T(p)
пишут ,
где теперь t, ,
— числа.
И t оказывается, таким образом, зависящей не от одной,
а от двух переменных — и
, поэтому
такую числовую функцию называют функцией двух переменных. В этом же смысле температура
атмосферы в целом есть функция
трёх переменных: две первые (,
) указывают,
над какой точкой земной поверхности проводится измерение температуры, а последняя —
H — задаёт высоту, на которой оно выполняется.

Таким образом, то, что раньше выглядело как функция одного аргумента,
при переходе к числовой записи может оказаться функцией нескольких числовых аргументов.

Аналогично можно ввести понятия функции пяти и вообще n
переменных .

Для функции нескольких переменных вводится понятие частных производных, а с помощью частных производных можно найти экстремумы функции нескольких переменных — у нас показано нахождение экстремумов функции двух переменных.

Основные определения, относящиеся к функциям нескольких переменных, являются обобщением соответствующих определений для функции одной переменной.

Множество D называется областью определения функции z, а множество Eмножеством её значений. Переменные x и y по отношению к функции z называются её аргументами.
Переменная z называется зависимой переменной.

Частным значениям аргументов

соответствует частное значение функции

Область определения функции нескольких переменных

Если функция нескольких переменных (например, двух переменных) задана формулой
z = f(xy),
то областью её определения является множество всех таких точек плоскости x0y,
для которых выражение f(xy)
имеет смысл и принимает действительные значения. Общие правила для области определения функции
нескольких переменных выводятся из общих правил для области определения функции одной переменной. Отличие в том,
что для функции двух переменных областью определения является некоторое множество точек плоскости, а не
прямой, как для функции одной переменной. Для функции трёх переменных областью определения является
соответствующее множество точек трёхмерного пространства, а для функции n переменных —
соответствующее множество точек абстрактного n-мерного пространства.

Область определения функции двух переменных с корнем n-й степени

В случае, когда функция двух переменных задана формулой и n
натуральное число:

если n — чётное число, то областью определения функции является множество
точек плоскости, соответствующих всем значениями подкоренного выражения, которые больше или равны нулю,
то есть

если n — нечётное число, то областью определения функции является множество
любых значений , то есть
вся плоскость x0y.

Область определения степенной функции двух переменных с целым показателем степени

В случае, когда функция задана формулой :

если a — положительное, то областью определения функции является
вся плоскость x0y;

если a — отрицательное, то областью определения функции является
множество значений , отличных
от нуля: .

Область определения степенной функции двух переменных с дробным показателем степени

В случае, когда функция задана формулой :

если
— положительное, то областью определения функции является множество тех точек плоскости, в которых
принимает значения большие или равное нулю: ;

если
— отрицательное, то областью определения функции является множество тех точек плоскости, в которых
принимает значения, большие нуля: .

Область определения логарифмической функции двух переменных

Логарифмическая функция двух переменных
определена при условии, если её аргумент положителен, то есть, областью её определения является множество
тех точек плоскости, в которых принимает значения, большие нуля: .

Область определения тригонометрических функций двух переменных

Область определения функции
вся плоскость x0y.

Область определения функции
вся плоскость x0y.

Область определения функции
вся плоскость x0y, кроме пар чисел, для которых
принимает значения .

Область определения функции
вся плоскость x0y, кроме пар чисел, для которых
принимает значения .

Область определения обратных тригонометрических функций двух переменных

Область определения функции
множество таких точек плоскости, для которых .

Область определения функции
множество таких точек плоскости, для которых .

Область определения функции
вся плоскость x0y.

Область определения функции
вся плоскость x0y.

Область определения дроби как функции двух переменных

Если функция задана формулой ,
то областью определения функции являются все точки плоскости, в которых .

Область определения линейной функции двух переменных

Если функция задана формулой вида z = ax + by + c,
то область определения функции — вся плоскость x0y.

Пример 1. Найти область определения функции двух переменных .

Решение. По правилам для области определения составляем двойное неравенство

.

Умножаем всё неравенство на и получаем

.

Полученное выражение и задаёт область определения данной функции двух переменных.

Пример 2. Найти область определения функции двух переменных .

Решение. По правилам для области определения составляем двойное неравенство

.

Переносим икс в правую часть и получаем

.

Полученное выражение и задаёт область определения данной функции двух переменных.

Пример 3. Найти область определения функции двух переменных S = xy и
частное значение этой функции при при x = 3, y = 5.

Решение. Область определения функции S = xy, выражающей зависимость площади многоугольника от длин его сторон, может быть записана двумя неравенствами
 и
,
которые определяют I квадрант на плоскости xOy. Частное значение этой функции при x = 3, y = 5 составляет

Пример 4. Найти область и построить область определения функции двух переменных
.

Решение. Область определения заданной функции двух переменных найдём из равенства

т.е.

Это круг с центром в начале координат и радиусом r. Графиком функции

является верхняя половина сферы .

Разрешив уравнение сферы относительно z, получим две однозначные функции z:
и

(рис. выше).

Функции нескольких переменных — пример из экономики

Пример 5. Рассмотрим производственную функцию (двухфакторную модель экономического роста)

где — национальный доход за год t; a – показатель приведения к единому масштабу продукции, затрат фондов и труда, оценивающий влияние на рост национального дохода неучтённых в модели факторов; — объём проиводственных фондов; — затраты живого труда в сфере материального производства; — показатели эластичности роста национального дохода в зависимости от роста производственных фондов и живого труда. Функция является функцией двух переменных:


  • Функция двух и более переменных. Её область определения
  • Поверхности второго порядка
  • Частные производные
  • Касательная плоскость и нормаль к поверхности
  • Производная по направлению, градиент функции
  • Экстремумы функции двух переменных
  • Условные экстремумы и функция Лагранжа
Ссылка на основную публикацию