Формулу Стокса. Криволинейный интеграл ІІ рода

Формула Стокса дает возможность перейти от интеграла по поверхности к интегралу по границе поверхности, и наоборот. Важно, чтобы обход контура согласовался с выбранной стороной поверхности (внутрь или наружу).
Наведем формулу Стокса

Дальше в примерах будем использовать компактную запись формулы через определитель.
В целом, поверхностные и криволинейные интегралы достаточно трудно вычислять, на это идет много времени как на практических так и при самостоятельных расчетах.

Пример 1 Используя формулу Стокса, вычислить интеграл

где С- круг x2+y2+z2=a2, x+y+z=0, что пробегается против хода часовой стрелки, если смотреть с положительной стороны оси Ox.

Решение: Криволинейный интеграл второго рода возведем к поверхностному интегралу первого рода, используя формулу Стокса :

здесь нужно подставить свои функции, которые берем из подынтегральной
P=P(x, y, z) =y, P=P(x, y, z) =z, P=P(x, y, z) =x.
Пройдемся по алгоритму вычисления интеграла, чтобы Вы видели, что за чем нужно делать.
Сначала нужно найти дифференциал ds и направляющие косинусы поверхности, которую ограничивает фигура:
из уравнения сферы x2+y2+z2=a2 выражаем z(x, y)
(перед корнем знак «+»).
Вычисляем частичные производные

и подставляем в формулу дифференциала поверхности
дифференциал поверхности

Найдем направляющие косинусы заданной поверхности:
Поскольку сфера x2+y2+z2=a2 пересекается плоскостью x+y+z=0, то нормальный вектор плоскости равен:

тогда норма вектора

Можем записать направляющие косинусы

Вычислим заданный криволинейный интеграл 2-го рода по формуле Стокса :
формула Стокса, интегрирование

При интегрировании перешли к полярной СК. Поскольку имеем кратный интеграл, то умножили на якобиан перехода, дальше расставили пределы и проинтегрировали.
Формула интегрирования, возможно, неудобная для пересмотра на мобильных, но при желании многие из Вас смогут разобраться с интегралом.

 

Пример 2 Используя формулу Стокса, вычислить интеграл

где C — кривая x2+y2+z2=2rx, x2+y2=2rx (0<r<R, z>0), какая пробегается так, что ограниченная ей наименьшая область на внешней стороне сферы остается слева.

Решение: Повторно наведем формулу возведения криволинейный интеграла второго рода к поверхностному интегралу первого рода с помощью формулы Стокса:
формула Стокса
Выпишем подынтегральные функции
P=P(x, y, z)=y2+z2,  Q=Q(x, y, z)=x2+z2, R=R(x, y, z)=x2+y2.

Выполняем расчеты для нахождения дифференциала dS но направляющих косинусам поверхности:
из уравнения x2+y2+z2=2rx получим

Берем частичные производные первого порядка по «икс, игрек»

Вычисляем дифференциал

дифференциал

Найдем направляющие косинусы поверхности за формулами:
направляющие косинусы

Перед радикалами берем знак «-«, поскольку нормаль поверхности образует острый угол с осью Oz.

Заранее вычислим определитель, который стоит под знаком поверхностного интеграла:

Криволинейный интеграл второго рода вычисляем по формуле Стокса:
криволинейный интеграл 2 рода за Стоксом
Конечное значение компактное, однако, чтобы его получить пришлось использовать не один листок А4.
Если есть желание можете распечатать формулу и детальнее проанализировать двойной интеграл.

 

Пример 3 Используя формулу Стокса, вычислить интеграл

где C — эллипс x2+y2=a2, x/a+z/h=1 (a>0, h>0), что пробегается против хода часовой стрелки, если смотреть с положительной стороны оси Ox.

Решение: Интеграл 2-го рода сведём к поверхностному интегралу первого рода за формулой Стокса:
формула Стокса
Выписываем функции P=P(x, y, z)=y-z, P=P(x, y, z)=z-x, P=P(x, y, z) =x-y.

Превращаем второе уравнение x/a+z/h=1, чтобы выразить «зет»

Тогда производная равна

Видим, что получили функцию независимую от координаты «игрек», поэтому производная по ней равна нулю.
Помните об этом когда придет время искать дифференциал поверхности
дифференциал

Поразмышляем как найти направляющие косинусы к поверхности:
Поскольку цилиндр x2+y2=a2 пересечен плоскостью x/a+z/h=1, то нормальный вектор плоскости равен:

Подумайте, почему именно так!
Вычисляем модуль нормали

и необходимые для интегрирования косинусы
косинусы

За формулой Стокса находим криволинейный интеграл второго рода:
формула Стокса, криволинейный интеграл

В конце расчетов использовали формулу площади круга с радиусом R=a

Если сможете повторить самостоятельно вычисления на подобных примерах, и правильно найдете интегралы, то Вы на хорошем уровне выучили интегрирование!

Ссылка на основную публикацию