Формула Грина. Переход от криволинейного интеграла к двойному

При решении примеров на интегрирование есть ряд заданий где необходимо перейти от криволинейного интеграла к двойному интегралу и наоборот. Формула Грина устанавливает связь между этими интегралами
формула Грина
Она справедлива для любой конечной замкнутой области, которую можно разбить на конечное количество правильных для интегрирования областей.
Как это делать на практике раскроем в следующих примерах.

Пример 1 Используя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл:


где K — треугольник ABC с вершинами A(1,1), B(3,2), C(2,5).
Решение: Складываем уравнения сторон треугольника ABC:
уравнения прямых
Уравнения нужны для определения точек пересечения прямых и разделения области интегрирования на подобласти.
Треугольник в декартовой плоскости имеет вид
треугольная область
Запишем подынтегральное выражение:
(x+y)2dx-(x2+y2) dy.
Здесь обозначим P=P(x, y)= (x+y)2, Q=Q(x, y)=- (x2+y2).
Найдем частичные производные первого порядка функций P, Q:

затем их разницу

Расставим пределы интегрирования в области G, для этого разделим ее (см. рисунок выше) на две части G=G1+G2, то есть
G1: 1≤x≤2, x/2+1/2≤y≤4x-3;
G2: 2≤x≤3, x/2+1/2≤y≤-3x+11.
Внимательно посмотрите как выполняется интегрирование, помните — определение пределов в интеграле ответственное занятие, ведь от них также зависит правильность результата.
Вычислим криволинейный интеграл, используя формулу Грина:

Здесь трудно вместить все в одну формулу, да и Вам трудно будет ее проследить, поэтому каждый из интегралов разберем отдельно
интеграл за формулой Грина
Учитывая что пределы первого интеграла, что берем, являются функциями, придется группировать и упрощать полученные подынтегральные функции.
Подобные манипуляции выполняем со вторым интегралом
криволинейный интеграл, формула Грина
Не забываем напоследок вычислить сумму интегралов

 

Пример 2 Используя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл:

где C — круг x2+y2=a2.

Решение: Построим круг вдоль дуги которого будем искать интеграл


Выпишем подынтегральные функции Q=Q(x, y)=xy2 и P=P(x, y)=-x2y.
Найдем частичные производные первого порядка от функций Q, P:

Пределы области интегрирования:
 (четверть круга).
Вычислим криволинейный интеграл по формуле Грина :
при интегрировании выполняем переход к полярной системе координат, перечисляем пределы интегрирования и не забываем умножить на якобиан I=r.
криволинейный интеграл, формула Грина

Внимательно разберите как расставлять пределы в кратных интегралах, какие методы и когда позволяют упростить интегрирование.
В будущем статью дополним новыми примерами, но для этого нужны заказы от Вас на расчет такого сорта интегралов.

Ссылка на основную публикацию