Двойные интегралы в полярных координатах: теория и примеры

Если область интегрирования представляет собой окружность или часть окружности,
двойной интеграл проще вычислить не в декартовых прямоугольных координатах, а в полярных координатах. В этом случае
подынтегральная функция выражается как функция полярных переменных r и φ с использованием
соотношений между полярными и декартовыми координатами x = rcosφ
и y = rsinφ:

.

Что представляет собой элемент площади dxdy,
выраженный в полярных координатах? Для ответ на этот вопрос разделим область интегрирования D
на участки линиями окружности r = const и лучами
φ = const. Рассмотрим один частичный участок
(заштрихованный на рисунке), который ограничивают лучи, образующие с полярной осью углы
φ и φ + dφ
и линии окружности с радиусом r и r + dr.
Этот криволинейный четырёхугольник можем приближенно считать прямоугольником с длиной боковой стороны
dr и длиной основания rdφ.
Поэтому элемент площади в полярных координатах выражается следующим образом:

dxdy = rdrdφ,

а двойной интеграл в полярных координатах записывается так:

.

Чтобы вычислить двойной интеграл в полярных координатах, его нужно выразить через
повторные интегралы, так же, как и «обычный» двойной интеграл в декартовых прямоугольных координатах. В
полярных координатах внешний интеграл всегда интегрируется по углу φ,
а внутренний — по радиусу r.

Вычислить двойной интеграл в полярных координатах — значит,
как и в декартовых прямоугольных координатах, найти число, равное площади упомянутой фигуры
D.

Полюс O является внутренней точкой области интегрирования D,
область ограничена линией r = r(φ).

Тогда соответственно нижний и верхний пределы интегрирования внешнего интеграла равны
0 и 2π, а внутреннего интеграла — 0 и r(φ).
Переход к повторным интегралам осуществляется следующим образом:

.

Полюс O находится на границе области интегрирования D,
ограниченного линией r = r(φ),
но не является угловой точкой.

Через полюс O проведём касательную. Пусть касательная образует с полярной
осью угол α. Тогда соответственно нижний и верхний пределы интегрирования внешнего интеграла равны
α и π + α,
а внутреннего интеграла — 0 и r(φ).
Переход к повторным интегралам осуществляется следующим образом:

.

Полюс O находится на границе области интегрирования D,
ограниченного линией r = r(φ),
и является угловой точкой.

Из полюса O проведём лучи, которые будут ограничивать область
D. Пусть эти лучи образуют с полярной
осью углы α и β. Тогда соответственно
нижний и верхний пределы интегрирования внешнего интеграла равны
α и β,
а внутреннего интеграла — 0 и r(φ).
Переход к повторным интегралам осуществляется следующим образом:

.

Полюс O находится вне области интегрирования D.

Из полюса O проведём лучи, которые будут ограничивать область
D. Пусть эти лучи образуют с полярной
осью углы α и β,
а область D ограничивают линии r = r1(φ)
и r = r2(φ).
Тогда соответственно нижний и верхний пределы интегрирования внешнего интеграла равны
α и β,
а внутреннего интеграла — r1(φ)
и r2(φ).
Переход к повторным интегралам осуществляется следующим образом:

.

Пример 1. Вычислить в полярных координатах двойной интеграл

,

где область D ограничена линиями
,
,
.

Решение. Строим на чертеже область интегрирования. Видим, что этот пример
относится к третьему случаю из вышеописанных четырёх случаев расположения области интегрирования.

Выразим подынтегральную функцию как функцию полярных переменных:

.

Данные в условии линии, ограничивающие D,
приводим к полярным координатам:

Переходим от двойного интеграла к повторному, учитывая пределы интегрирования,
верные в третьем случае:

.

Вычисляем интеграл (так как повторные интегралы независимы друг от друга,
каждый из них вычисляем отдельно и результаты перемножаем):

Пример 2. В повторном интеграле

перейти к полярной системе координат.

Решение. В повторном интеграле переменная x изменяется от -1 до 1,
а переменная y — от параболы x² до 1. Таким образом,
область интегрирования снизу ограничена параболой y = x²,
а сверху — прямой y = 1. Область интегирования изображена
на следующем чертеже.

При переходе к полярным координатам область интегрирования нужно разделить на три части.
Значит, данный повторный интеграл должен быть вычислен как сумма трёх интегралов. В первой области
полярный радиус меняется от 0 до параболы, во второй области — от 0 до прямой y = 1,
в третьей области — от 0 до параболы. Точки пересечения прямой y = 1 и
параболы: (1; 1) и (−1; 1). В
первой точке полярный угол составляет ,
во второй точке он составляет .
Поэтому в первой области φ меняется от от 0 до
, во второй области —
от 0 до , в третьей
области — от до π.

Запишем линии, ограничивающие область интегрирования в полярной системе координат.
Найдём уравнение прямой y = 1:
или
. Найдём уравнение
параболы y = x² в полярной системе координат:

Теперь у нас есть всё, чтобы от данного повторного интеграла перейти к полярным
координатам:

Пример 3. Вычислить в полярных координатах двойной интеграл

,

где область D ограничена линией окружности
.

Решение. Строим на чертеже область интегрирования.

Область интегрирования ограничивает линия окружности с центром в точке (a; 0)
и радиусом a. В этом легко убедиться, преобразовав её уравнение
следующим образом:

.

Линия окружности
касается оси Oy, поэтому полярный угол в области интегрирования
меняется от до .
Подставим и
в уравнение окружности и получим

Напишем подынтегральную функцию в полярных координатах:

.

Теперь можем перейти в данном двойном интеграле к полярным координатам:

Наконец, находим двойной интеграл в полярных координатах:

В полученном выражении второе слагаемое равно нулю, так как и
sinπ, и sin(−π)
равны нулю. Продолжая, получаем:

Пример 4. Вычислить плоской фигуры, которую ограничивают линии
,
,
,
.

Решение. Построим заданную фигуру на следующем рисунке.

Так как фигура является частью круга, её площадь проще вычислить в полярных координатах.
Данные уравнения линий перепишем в полярных координатах:

Таким образом, у нас есть всё, чтобы записать площадь фигуры в виде двойного
интеграл в полярных координатах, перейти к повторному интегралу и вычислить его:

Пример 5. Вычислить в полярных координатах двойной интеграл

,

где область D ограничена линиями
и
.

Решение. Преобразуем данные уравнения линий, чтобы было проще построить чертёж:

.

Строим на чертеже область интегрирования.

В данных уравнениях линий перейдём к полярным координатам:

.

В данном двойном интеграле перейдём к полярным координатам, затем к повторным
интегралам и вычислим интеграл: