Содержание
- Что значит вычислить двойной интеграл полярных координатах?
- Пределы интегрирования в повторных интегралах
- Решения двойных интегралов в полярных координатах: примеры
Что значит вычислить двойной интеграл в полярных координатах?
Если область интегрирования представляет собой окружность или часть окружности,
двойной интеграл проще вычислить не в декартовых прямоугольных координатах, а в полярных координатах. В этом случае
подынтегральная функция выражается как функция полярных переменных r и φ с использованием
соотношений между полярными и декартовыми координатами x = rcosφ
и y = rsinφ:
.
Что представляет собой элемент площади dxdy,
выраженный в полярных координатах? Для ответ на этот вопрос разделим область интегрирования D
на участки линиями окружности r = const и лучами
φ = const. Рассмотрим один частичный участок
(заштрихованный на рисунке), который ограничивают лучи, образующие с полярной осью углы
φ и φ + dφ
и линии окружности с радиусом r и r + dr.
Этот криволинейный четырёхугольник можем приближенно считать прямоугольником с длиной боковой стороны
dr и длиной основания rdφ.
Поэтому элемент площади в полярных координатах выражается следующим образом:
dxdy = rdrdφ,
а двойной интеграл в полярных координатах записывается так:
.
Чтобы вычислить двойной интеграл в полярных координатах, его нужно выразить через
повторные интегралы, так же, как и «обычный» двойной интеграл в декартовых прямоугольных координатах. В
полярных координатах внешний интеграл всегда интегрируется по углу φ,
а внутренний — по радиусу r.
Вычислить двойной интеграл в полярных координатах — значит,
как и в декартовых прямоугольных координатах, найти число, равное площади упомянутой фигуры
D.
Пределы интегрирования в повторных интегралах
При переходе от двойного интеграла в полярных координатах к повторным интегралам
расстановку пределов интегрирования могут облегчить следующие закономерности.
Случай первый
Полюс O является внутренней точкой области интегрирования D,
область ограничена линией r = r(φ).
Тогда соответственно нижний и верхний пределы интегрирования внешнего интеграла равны
0 и 2π, а внутреннего интеграла — 0 и r(φ).
Переход к повторным интегралам осуществляется следующим образом:
.
Случай второй
Полюс O находится на границе области интегрирования D,
ограниченного линией r = r(φ),
но не является угловой точкой.
Через полюс O проведём касательную. Пусть касательная образует с полярной
осью угол α. Тогда соответственно нижний и верхний пределы интегрирования внешнего интеграла равны
α и π + α,
а внутреннего интеграла — 0 и r(φ).
Переход к повторным интегралам осуществляется следующим образом:
.
Случай третий
Полюс O находится на границе области интегрирования D,
ограниченного линией r = r(φ),
и является угловой точкой.
Из полюса O проведём лучи, которые будут ограничивать область
D. Пусть эти лучи образуют с полярной
осью углы α и β. Тогда соответственно
нижний и верхний пределы интегрирования внешнего интеграла равны
α и β,
а внутреннего интеграла — 0 и r(φ).
Переход к повторным интегралам осуществляется следующим образом:
.
Случай четвёртый
Полюс O находится вне области интегрирования D.
Из полюса O проведём лучи, которые будут ограничивать область
D. Пусть эти лучи образуют с полярной
осью углы α и β,
а область D ограничивают линии r = r1(φ)
и r = r2(φ).
Тогда соответственно нижний и верхний пределы интегрирования внешнего интеграла равны
α и β,
а внутреннего интеграла — r1(φ)
и r2(φ).
Переход к повторным интегралам осуществляется следующим образом:
.
Решения двойных интегралов в полярных координатах: примеры
Пример 1. Вычислить в полярных координатах двойной интеграл
,
где область D ограничена линиями
,
,
.
Решение. Строим на чертеже область интегрирования. Видим, что этот пример
относится к третьему случаю из вышеописанных четырёх случаев расположения области интегрирования.
Выразим подынтегральную функцию как функцию полярных переменных:
.
Данные в условии линии, ограничивающие D,
приводим к полярным координатам:
Переходим от двойного интеграла к повторному, учитывая пределы интегрирования,
верные в третьем случае:
.
Вычисляем интеграл (так как повторные интегралы независимы друг от друга,
каждый из них вычисляем отдельно и результаты перемножаем):
Пример 2. В повторном интеграле
перейти к полярной системе координат.
Решение. В повторном интеграле переменная x изменяется от -1 до 1,
а переменная y — от параболы x² до 1. Таким образом,
область интегрирования снизу ограничена параболой y = x²,
а сверху — прямой y = 1. Область интегирования изображена
на следующем чертеже.
При переходе к полярным координатам область интегрирования нужно разделить на три части.
Значит, данный повторный интеграл должен быть вычислен как сумма трёх интегралов. В первой области
полярный радиус меняется от 0 до параболы, во второй области — от 0 до прямой y = 1,
в третьей области — от 0 до параболы. Точки пересечения прямой y = 1 и
параболы: (1; 1) и (−1; 1). В
первой точке полярный угол составляет ,
во второй точке он составляет .
Поэтому в первой области φ меняется от от 0 до
, во второй области —
от 0 до , в третьей
области — от до π.
Запишем линии, ограничивающие область интегрирования в полярной системе координат.
Найдём уравнение прямой y = 1:
или
. Найдём уравнение
параболы y = x² в полярной системе координат:
Теперь у нас есть всё, чтобы от данного повторного интеграла перейти к полярным
координатам:
Пример 3. Вычислить в полярных координатах двойной интеграл
,
где область D ограничена линией окружности
.
Решение. Строим на чертеже область интегрирования.
Область интегрирования ограничивает линия окружности с центром в точке (a; 0)
и радиусом a. В этом легко убедиться, преобразовав её уравнение
следующим образом:
.
Линия окружности
касается оси Oy, поэтому полярный угол в области интегрирования
меняется от до
.
Подставим и
в уравнение окружности и получим
Напишем подынтегральную функцию в полярных координатах:
.
Теперь можем перейти в данном двойном интеграле к полярным координатам:
Наконец, находим двойной интеграл в полярных координатах:
В полученном выражении второе слагаемое равно нулю, так как и
sinπ, и sin(−π)
равны нулю. Продолжая, получаем:
Пример 4. Вычислить плоской фигуры, которую ограничивают линии
,
,
,
.
Решение. Построим заданную фигуру на следующем рисунке.
Так как фигура является частью круга, её площадь проще вычислить в полярных координатах.
Данные уравнения линий перепишем в полярных координатах:
Таким образом, у нас есть всё, чтобы записать площадь фигуры в виде двойного
интеграл в полярных координатах, перейти к повторному интегралу и вычислить его:
Пример 5. Вычислить в полярных координатах двойной интеграл
,
где область D ограничена линиями
и
.
Решение. Преобразуем данные уравнения линий, чтобы было проще построить чертёж:
.
Строим на чертеже область интегрирования.
В данных уравнениях линий перейдём к полярным координатам:
.
В данном двойном интеграле перейдём к полярным координатам, затем к повторным
интегралам и вычислим интеграл:
- Вычисление двойных интегралов
- Двойные интегралы в полярных координатах
- Вычисление тройных интегралов
- Вычисление криволинейных интегралов
- Интегралы по замкнутому контуру, формула Грина
- Вычисление поверхностных интегралов
Поделиться с друзьями