Дифференциал сложной функции

Рассмотрим дифференциал сложной функции. Пусть
y сложная функция x:
,
.
Дифференциал
этой функции, используя формулу для производной сложной функции,
можно записать в виде .
Но
есть дифференциал функции u, поэтому
, т. е.

.

Здесь дифференциал записан в том же виде, как и в формуле для
дифференциала функции независимой переменной x, т. е.
,
хотя аргумент u является не независимой переменной,
а функцией x.

Следовательно, выражение дифференциала функции в виде произведения
производной этой функции на дифференциал её аргумента справедливо
независимо от того,
является ли аргумент независимой переменной или функцией другой переменной. Это
свойство называется инвариантностью (неизменностью) формы дифференциала.

Задание к примерам. Во всех примерах требуется
вычислить дифференциал функции двумя способами: выражая его через dx
и через du — дифференциал промежуточной
переменной u. Проверить совпадение полученных
результатов.

Потребуется таблица производных некоторых сложных функций.

Пример 1. Дана функция .

Решение.

Через dx:

Использовали правило дифференцирования степенной функции.

Через du:

Подставляя в полученное равенство
и , получаем

Результаты совпадают.

Пример 2. Дана функция .

Решение.

Через dx:

Использовали правило дифференцирования сложной функции квадратного корня.

Через du:

.

Подставляя в полученное равенство
и , получаем

Результаты совпадают.

Пример 3. Дана функция .

Решение.

Через dx:

Использовали правило дифференцирования сложной логарифмической функции.

Через du:

.

Подставляя в полученное равенство
и , получаем

Результаты совпадают.

Пример 4. Дана функция .

Решение.

Через dx (в процессе решения для удобства преобразуем корни в степени и обратно):

Использовали общее правило дифференцирования сложной функции два раза.

Через du:

.

Подставляя в полученное равенство
и
,
получаем

Результаты совпадают.

Пример 5. Дана функция .

Решение.

Через dx:

Использовали общее правило дифференцирования сложной функции и правило дифференцирования сложной логарифмической функции.

Через du:

.

Подставляя в полученное равенство
и , получаем

.

Результаты совпадают.

  • Что такое производная
  • Найти производную: алгоритм и примеры решений
  • Производные произведения и частного функций
  • Производная суммы дробей со степенями и корнями
  • Производные простых тригонометрических функций
  • Производная сложной функции
  • Дифференциал функции
  • Правило Лопиталя
  • Частные производные

Поделиться с друзьями

Ссылка на основную публикацию