Асимптоты графика функций: их виды, примеры решений

Если предварительно построить асимптоты кривой, то многих случаях построение графика
функции облегчается.

Судьба асимптоты полна трагизма. Представьте себе, каково это: всю жизнь двигаться
по прямой к заветной цели, подойти к ней максимально близко, но так и не достигнуть её. Например, стремиться
соединить свой жизненный путь с путём желанного человека, в какой-то момент приблизиться к нему почти
вплотную, но даже не коснуться его. Или стремиться заработать миллиард, но до достижения этой цели
и записи в книгу рекордов Гиннеса для своего случая не достаёт сотых долей цента. И тому подобное. Так
и с асимптотой: она постоянно стремится достигнуть кривой графика функции, приближается к нему на минимальное
возможное расстояние, но так и не касается его.

Определение 1. Асимптотами называются такие прямые, к которым сколь угодно
близко приближается график функции, когда переменная стремится к плюс бесконечности или к минус
бесконечности.

Определение 2. Прямая называется асимптотой графика функции, если расстояние
от переменной точки М графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении
точки М от начала координат по какой-либо ветви графика функции.

Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Первое, что нужно узнать о вертикальных асимптотах: они параллельны
оси Oy.

Определение. Прямая x = a
является вертикальной асимптотой графика функции, если точка x = a
является точкой разрыва второго рода для этой функции.

Из определения следует, что прямая x = a
является вертикальной асимптотой графика функции f(x), если выполняется хотя бы одно
из условий:

• 
  (предел функции при значении аргумента, стремящимся к некоторому значению a слева, равен плюс или минус бесконечности)
• 
  (предел функции при значении аргумента, стремящимся к некоторому значению a справа, равен плюс или минус бесконечности).

При этом функция f(x) может быть вообще не определена соответственно при
x ≥ a и
x ≤ a.

Замечание:

• символом
  
  обозначается стремление x к a справа, причём x остаётся
  больше a;
• символом
  
  обозначается стремление x к a слева, причём x остаётся меньше a.

Из сказанного следует, что вертикальные асимптоты графика функции можно искать
не только в точках разрыва, но и на
границах области определения. График
функции, непрерывной на всей
числовой прямой, вертикальных асимптот не имеет.

Пример 1. График функции y=lnx
имеет вертикальную асимптоту x = 0 (т.е. совпадающую с осью Oy) на границе
области определения, так как предел функции при стремлении икса к нулю справа равен минус бесконечности:

(рис. сверху).

Пример 2. Найти асимптоты графика функции .

Пример 3. Найти асимптоты графика функции

Пример 4. Найти асимптоты график функции .

Посмотреть решения и ответы примеров 2, 3, 4.

Первое, что нужно узнать о горизонтальных асимптотах: они параллельны
оси Ox.

Пример 5. График функции

при a > 1 имеет левую горизонтальную
асимпототу y = 0 (т.е.
совпадающую с осью Ox), так как предел функции при стремлении «икса»
к минус бесконечности равен нулю:

Правой горизонтальной асимптоты у кривой нет, поскольку предел функции при стремлении
«икса» к плюс бесконечности равен бесконечности:

Вертикальные и горизонтальные асимптоты, которые мы рассмотрели выше, параллельны
осям координат, поэтому для их построения нам требовалось лишь определённое число — точка на оси
абсцисс или ординат, через которую проходит асимптота. Для наклонной асимптоты необходимо больше —
угловой коэффициент k, который показывает угол наклона прямой, и свободный член b, который показывает,
насколько прямая находится выше или ниже начала координат. Не успевшие забыть аналитическую геометрию,
а из неё — уравнения прямой, заметят, что для наклонной асимптоты находят уравнение
прямой с угловым коэффициентом. Существование наклонной асимптоты определяется следующей теоремой,
на основании которой и находят названные только что коэффициенты.

Теорема. Для того, чтобы кривая y = f(x) имела
асимптоту y = kx + b, необходимо и
достаточно, чтобы существовали конечные пределы k и b рассматриваемой функции
при стремлении переменной x к плюс бесконечности и минус бесконечности:

          (1)

и

      (2)

Найденные таким образом числа k и b и являются коэффициентами
наклонной асимптоты.

В первом случае (при стремлении икса к плюс бесконечности) получается правая
наклонная асимптота, во втором (при стремлении икса к минус бесконечности) – левая. Правая наклонная асимптота изображена на рис. снизу.

При нахождении уравнения наклонной асимптоты необходимо учитывать стремление икса
и к плюс бесконечности, и к минус бесконечности. У некоторых функций, например, у дробно-рациональных,
эти пределы совпадают, однако у многих функций эти пределы различны а также может существовать только
один из них.

При совпадении пределов при иксе, стремящемся к плюс бесконечности и к минус
бесконечности прямая y = kx + b является двусторонней асимптотой кривой.

Если хотя бы один из пределов, определяющих асимптоту y = kx + b, не существует, то
график функции не имеет наклонной асимптоты (но может иметь вертикальную).

Нетрудно видеть, что горизонтальная асимптота y = b
является частным случаем наклонной y = kx + b
при k = 0.

Поэтому если в каком-либо направлении кривая имеет горизонтальную асимптоту, то в
этом направлении нет наклонной, и наоборот.

Пример 6. Найти асимптоты графика функции

Решение. Функция определена на всей числовой прямой, кроме x = 0, т.е.

Поэтому в точке разрыва x = 0 кривая может иметь вертикальную
асимптоту. Действительно, предел функции при стремлении икса к нулю слева равен плюс бесконечности:

Следовательно, x = 0 – вертикальная асимптота
графика данной функции.

Горизонтальной асимптоты график данной функции не имеет, так как предел функции при
стремлении икса к плюс бесконечности равен плюс бесконечности:

Выясним наличие наклонной асимптоты:

Получили конечные пределы k = 2 и
b = 0.
Прямая y = 2x является двусторонней
наклонной асимптотой графика данной функции (рис. внутри примера).

Пример 7. Найти асимптоты графика функции

Решение. Функция имеет одну точку разрыва x = −1.
Вычислим односторонние пределы и определим вид разрыва:

,

.

Заключение: x = −1 — точка разрыва второго рода,
поэтому прямая x = −1 является вертикальной асимптотой
графика данной функции.

Ищем наклонные асимптоты. Так как данная функция — дробно-рациональная, пределы при
и при
будут совпадать. Таким
образом, находим коэффициенты для подстановки в уравнение прямой — наклонной асимптоты:

Подставляя найденные коэффициенты в уравнение прямой с угловым коэффициентом, получаем
уравнение наклонной асимптоты:

y = −3x + 5.

На рисунке график функции обозначен бордовым цветом, а асимптоты — чёрным.

Пример 8. Найти асимптоты графика функции

.

Решение. Так как данная функция непрерывна, её график не имеет вертикальных асимптот.
Ищем наклонные асимптоты:

.

Таким образом, график данной функции имеет асимптоту y = 0 при
и не имеет асиптоты при
.

Пример 9. Найти асимптоты графика функции

.

Решение. Сначала ищем вертикальные асимптоты. Для этого найдём область определения
функции. Функция определена, когда выполняется неравенство и
при этом . Знак переменной
x совпадает со знаком .
Поэтому рассмотрим эквивалентное неравенство .
Из этого получаем область определения функции: .
Вертикальная асимптота может быть только на границе области определения функции. Но
x = 0 не может быть вертикальной асимптотой, так как
функция определена при x = 0.

Рассмотрим правосторонний предел при
(левосторонний предел не существует):

.

Точка x = 2 — точка разрыва второго рода,
поэтому прямая x = 2 — вертикальная асимптота
графика данной функции.

Ищем наклонные асимптоты:

Итак, y = x + 1 —
наклонная асимптота графика данной функции при .
Ищем наклонную асимптоту при :

Итак, y = −x − 1 —
наклонная асимптота при .

Пример 10. Найти асимптоты графика функции

Решение. Функция имеет область определения .
Так как вертикальная асимптота графика этой функции может быть только на границе области определения,
найдём односторонние пределы функции при :

,

.

Оба предела нашли, используя первый замечательный предел. Заключение: x = 0 — точка
устранимого разрыва, поэтому у графика функции нет вертикальных асимптот.

Ищем наклонные асимптоты:

Таким образом, при
наклонной асимптотой графика данной функции является прямая y = x.
Но при найденные пределы
не изменяются. Поэтому при
наклонной асимптотой графика данной функции также является y = x.

Пример 11. Найти асимптоты графика функции

.

Решение. Сначала найдём вертикальные асимптоты. Для этого найдём точки разрыва функции
и их виды. Знаменатель не может быть равным нулю, поэтому должно соблюдаться условие
.
Функция имеет две точки разрыва: ,
. Чтобы установить вид
разрыва, найдём односторонние пределы:

Так как все пределы равны бесконечности, обе точки разрыва — второго рода. Поэтому
график данной функции имеет две вертикальные асимптоты: x = 2 и
x = −2.

Ищем наклонные асимптоты. Так как данная функция является дробно-рациональной,
пределы при и при
совпадают. Поэтому,
определяя коэффициенты прямой, ищем просто пределы:

Подставляем найденные коэффициенты в уравнение прямой с угловым коэффициентом,
получаем уравнение наклонной асимптоты y = 2x.
Таким образом, график данной функции имеет три асимптоты: x = 2,
x = −2 и y = 2x.

Пример 12. Найти асимптоты графика функции
.

Правильное решение и ответ.

Пример 13. Найти асимптоты графика функции
.

Правильное решение и ответ.

Поделиться с друзьями