Асимптоты функции

Определение асимптот функции не такое и трудное занятие если Вы хорошо знаете ряд правил и имеете добрые знания вычисления пределов. Если же не умеете находить пределы то наверстывать придется много, но научиться можно.

Прямая называется асимптотой кривой если точка кривой неограниченно приближается к ней при росте абсциссы или ординаты. Асимптоты разделяют на вертикальные, наклонные (горизонтальные) асимптоты.

ВЕРТИКАЛЬНЫЕ АСИМПТОТЫ

График функции при аргументе котрый стремится к точке имеет вертикальную асимптоту, если предел функции в ней бесконечен

Кроме этого точка является точкой разрыва II рода, а уравнение вертикальной асимптоты имеет вид

НАКЛОННЫЕ АСИМПТОТЫ

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид

где — пределы, которые вычисляются по правилу

Если оба пределы существуют и конечны то функция имеет наклонную асимптоту, иначе — нет. Следует отдельно рассматривать случаи, когда аргумент стремится к бесконечности () и минус бесконечности ().

ГОРИЗОНТАЛЬНЫЕ АСИМПТОТЫ

Кривая имеет горизонтальную асимптоту только в том случае, когда существует конечный предел функции при и , и эта граница равна

или

Нахождение пределов в некоторых случаях упрощается, если применять правило Лопиталя.
Приведем решения типичных для практики задач на отыскание асимптот.

————————————

Примеры.

Найти асимптоты функций (Дубовик В.П., Юрик И.И. «Высшая математика. Сборник задач»)

І. (5.863)

Решение:

Знаменатель дроби не должен превращаться в ноль

По теореме Виета находим корни квадратного уравнения

Они разбивают область определения на следующие интервалы

Другим выводом является то, что функция имеет две вертикальные асимптоты

Найдем наклонную асимптоту

Первая граница примет вид

Другую определяем по правилу

Окончательное уравнение наклонной асимптоты следующее

График функции с асимптотами имеет вид

————————————

ІІ. (5.873)

Решение:

Логарифм функция определена при положительных значениях аргумента и стремится к бесконечности при , это означает

Из этого следует что функция имеет вертикальные асимптоты при

а ее область определения следующая

С виду функции следует что функция имеет вертикальную асимптоту

Наклонных асимптот функция не имеет. График функции с асимптотами приведен ниже

————————————

(Клепко В.Ю., Голец В.И. «Высшая математика в примерах и задачах»)

III. (4.71.1)

Решение:

С виду функции следует что она определена во всех точках где знаменатель не превращается в ноль, из этого следует

Эти точки представляют собой вертикальные асимптоты, а также разделяют область определения на интервалы

Наклонных асимптот функция не имеет. Это следует из одного свойства которым я поделюсь с Вами: функции вида «многочлен разделить на многочлен» имеет наклонную асимптоту только в случаях, когда наибольший степень в числителе на единицу больше, чем в знаменателе, т.е.

Горизонтальная асимптоту находим с границы

Функция с асимптотами изображена на рисунке

———————————

IV. (4.71.2)

Решение:

Область определения функции

При функция имеет вертикальную асимптоту. Наклонных асимптот нет, одна горизонтальная, так как степень числителя и знаменателя равны

Функция будет выглядеть следующим образом

————————————

V. (4.71.3)

Решение:

Областью определения будут два интервала

Точка будет вертикальной асимптотой. Наклонных асимптот нет, горизонтальную находим с предела

Поведение функции изображено на рисунке

—————————————————

VI. (4.71.4)

Решение:

Область определения находим из условия

Точка является вертикальной асимптотой. Наклонную асимптоту находим на основе пределов

Окончательно получим такое уравнение асимптоты

Функция с асимптотами изображена на рисунке

———————————————

VII. (4.71.5)

Решение:

Область определения находим с условия

Точка – вертикальная асимптота. Наклонная асимптота будет известна после вычисления пределов

– уравнение наклонной асимптоты.

График функции следующий

————————————

Подобных примеров можно решить еще много, схема нахождения асимптот при этом не меняется. Бывают

примеры в которых нахождение пределов трудоемкое и занимает более половины объема этой статьи, но

думаю Вам такие в обучении не встретятся.

————————————

Посмотреть материалы:

Ссылка на основную публикацию