Теорема 1. Пусть ,
, вектор-функции
и
дифференцируемы в точке
. Тогда вектор-функция
дифференцируема в точке
и
Теорема 2. Пусть ,
— произвольное вещественное число,
, вектор-функция
дифференцируема в точке
. Тогда вектор-функция
дифференцируема в точке
и
Теорема 3. Пусть ,
, вектор-функции
и
дифференцируемы в точке
. Тогда вектор-функция
дифференцируема в точке
и
Теорема 4. Пусть ,
. Пусть
. Пусть
, функция
дифференцируема в точке
, вектор-функция
дифференцируема в точке
. Тогда вектор-функция
дифференцируема в точке
и
Доказательство проведем для третьей теоремы. Выберем в множестве декартов базис. Пусть
,
.
Так как вектор-функция дифференцируема, то дифференцируемы и функции
.
Так как вектор-функция дифференцируема, то дифференцируемы и функции
.
Значит, функция дифференцируема, следовательно, функция
также дифференцируема.
перегруппировывая слагаемые (первое с третьим, второе с четвертым).