9. Правила дифференцирования вектор-функции*

Теорема 1. Пусть ${bf r}_1:Xtomathbb{V},{bf r}_2:Xtomathbb{V}$ , $ain X$ , вектор-функции ${bf r}_1$ и ${bf r}_2$ дифференцируемы в точке $a$ . Тогда вектор-функция ${bf r}_1+{bf r}_2$ дифференцируема в точке $a$ и

$[({bf r}_1+{bf r}_2)^{prime}(a)={bf r}^{prime}_1(a)+{bf r}^{prime}_2(a) .]$

Теорема 2. Пусть ${bf r}:Xtomathbb{V}$ , $alpha$ — произвольное вещественное число, $ain X$ , вектор-функция ${bf r}$ дифференцируема в точке $a$ . Тогда вектор-функция $alpha{bf r}$ дифференцируема в точке $a$ и

$[(alpha{bf r})^{prime}(a)=alpha{bf r}^{prime}(a) .]$

Теорема 3. Пусть ${bf r}_1:Xtomathbb{V},{bf r}_2:Xtomathbb{V}$ , $ain X$ , вектор-функции ${bf r}_1$ и ${bf r}_2$ дифференцируемы в точке $a$ . Тогда вектор-функция ${bf r}_1{bf r}_2$ дифференцируема в точке $a$ и

$[({bf r}_1{bf r}_2)^{prime}(a)={bf r}^{prime}_1(a){bf r}_2(a)+{bf r}_1(a){bf r}^{prime}_2(a).]$

Теорема 4. Пусть $varphi:X_1tomathbb{R}$ , ${bf r}:Xtomathbb{V}$ . Пусть $varphi(X_1)subset X$ . Пусть $ain X_1$ , функция $varphi$ дифференцируема в точке $a$ , вектор-функция ${bf r}$ дифференцируема в точке $varphi(a)$ . Тогда вектор-функция ${bf r}circvarphi$ дифференцируема в точке $a$ и

$[({bf r}circvarphi)^{prime}(a)={bf r}^{prime}(varphi(a))cdotvarphi^{prime}(a) .]$

Доказательство проведем для третьей теоремы. Выберем в множестве $mathbb{V}_3$ декартов базис. Пусть ${bf r}_1=(x_1,y_1)$ , ${bf r}_2=(x_2,y_2)$ .

$[{bf r}_1cdot{bf r}_2=x_1x_2+y_1y_2 .]$

Так как вектор-функция ${bf r}_1$ дифференцируема, то дифференцируемы и функции $x_1,y_1$ .

Так как вектор-функция ${bf r}_2$ дифференцируема, то дифференцируемы и функции $x_2,y_2$ .

Значит, функция $x_1x_2+y_1y_2$ дифференцируема, следовательно, функция ${bf r}_1cdot{bf r}_2$ также дифференцируема.

$[begin{array}{l} ({bf r}_1{bf r}_2)^{prime}(a)=(x_1x_2+y_1y_2)^{prime}(a)=(x_1x_2)^{prime}(a)+(y_1y_2)^{prime}(a)=\[2mm] =x^{prime}_1(a)x_2(a)+x_1(a)x^{prime}_2(a)+y^{prime}_1(a)y_2(a)+y_1(a)y^{prime}_2(a)={bf r}^{prime}_1(a){bf r}_2(a)+{bf r}_1(a){bf r}^{prime}_2(a), end{array}]$

перегруппировывая слагаемые (первое с третьим, второе с четвертым).

Оставить комментарий

Свежие комментарии

alex в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “а что именно?” Апр 24, 18:31
alex в Иррациональные уравнения на примерах: “Ну эти уравнения не очень сложны, но рассказано очень хорошо про иррациональные уравнения - здесь я согласен!” Апр 24, 18:15
Константин в Иррациональные уравнения на примерах: “То чувство, когда всё разложено по полочкам и кажется очень просто, но на практике начинаются сложности. Математика требует не только…” Апр 15, 17:47
Настя в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “Реально помогло решить задачи дочке)” Апр 15, 17:43
Сергей в Квадратные уравнения. Примеры решения: “Никогда не был предрасположен к точным наукам. Вроде бы и примеры не сложные, но по истечении лет, и они вызывают…” Апр 15, 17:40