9. Правила дифференцирования вектор-функции*

Теорема 1. Пусть {bf r}_1:Xtomathbb{V},{bf r}_2:Xtomathbb{V}, ain X, вектор-функции {bf r}_1 и {bf r}_2 дифференцируемы в точке a. Тогда вектор-функция {bf r}_1+{bf r}_2 дифференцируема в точке a и

    [({bf r}_1+{bf r}_2)^{prime}(a)={bf r}^{prime}_1(a)+{bf r}^{prime}_2(a) .]

Теорема 2. Пусть {bf r}:Xtomathbb{V}, alpha —  произвольное вещественное число, ain X, вектор-функция {bf r} дифференцируема в точке a. Тогда вектор-функция alpha{bf r} дифференцируема в точке a и

    [(alpha{bf r})^{prime}(a)=alpha{bf r}^{prime}(a) .]

Теорема 3. Пусть {bf r}_1:Xtomathbb{V},{bf r}_2:Xtomathbb{V}, ain X, вектор-функции {bf r}_1 и {bf r}_2 дифференцируемы в точке a. Тогда вектор-функция {bf r}_1{bf r}_2 дифференцируема в точке a и

    [({bf r}_1{bf r}_2)^{prime}(a)={bf r}^{prime}_1(a){bf r}_2(a)+{bf r}_1(a){bf r}^{prime}_2(a).]

Теорема 4. Пусть varphi:X_1tomathbb{R}, {bf r}:Xtomathbb{V}. Пусть varphi(X_1)subset X. Пусть ain X_1, функция varphi дифференцируема в точке a, вектор-функция {bf r} дифференцируема в точке varphi(a). Тогда вектор-функция {bf r}circvarphi дифференцируема в точке a и

    [({bf r}circvarphi)^{prime}(a)={bf r}^{prime}(varphi(a))cdotvarphi^{prime}(a) .]

Доказательство проведем для третьей теоремы. Выберем в множестве mathbb{V}_3 декартов базис. Пусть {bf r}_1=(x_1,y_1), {bf r}_2=(x_2,y_2).

    [{bf r}_1cdot{bf r}_2=x_1x_2+y_1y_2 .]

Так как вектор-функция {bf r}_1 дифференцируема, то дифференцируемы и функции x_1,y_1.

Так как вектор-функция {bf r}_2 дифференцируема, то дифференцируемы и функции x_2,y_2.

Значит, функция x_1x_2+y_1y_2 дифференцируема, следовательно, функция {bf r}_1cdot{bf r}_2 также дифференцируема.

    [begin{array}{l} ({bf r}_1{bf r}_2)^{prime}(a)=(x_1x_2+y_1y_2)^{prime}(a)=(x_1x_2)^{prime}(a)+(y_1y_2)^{prime}(a)=\[2mm] =x^{prime}_1(a)x_2(a)+x_1(a)x^{prime}_2(a)+y^{prime}_1(a)y_2(a)+y_1(a)y^{prime}_2(a)={bf r}^{prime}_1(a){bf r}_2(a)+{bf r}_1(a){bf r}^{prime}_2(a), end{array}]

перегруппировывая слагаемые (первое с третьим, второе с четвертым).

Ссылка на основную публикацию