8. Производная и дифференциал вектор-функции*

Определение. Пусть {bf r}:Xtomathbb{V}, a — точка множества X. Производной вектор-функции {bf r} в точке a называется вектор {bf r}^{prime}(t)=displaystylelim_{tto a}{{bf r}(t)-{bf r}(a)over t-a}.

Задача. Приведите пример последовательности x_n, сходящейся к 1, для которой последовательность x_n^n не сходится к 1.

Задача. Пусть f:Xto mathbb{R}, forall x xin XRightarrow -xin X. Докажите, что функцию f можно единственным образом представить в виде суммы четной и нечетной функций.

Задача. Пусть f:Xtomathbb{R} и функция f дифференцируема. Докажите следующие утверждения

а) если функция f четна, то функция f^{prime} нечетна;

б) если функция f нечетна, то функция f^{prime} четна.

Определение производной вектор-функции равносильно следующему

    [{bf r}^{prime}(a)=lim_{hto0}{{bf r}(a+h)-{bf r}(a)over h}.]

Определение. Пусть {bf r}:Xtomathbb{V}, ain X. Вектор-функция {bf r} называется дифференцируемой в точке a, если существует такой вектор {bf c} и такая вектор-функция {bf f}, что имеет место равенство

    [{bf r}(a+h)-{bf r}(a)={bf c}h+{bf f}(h)h]

forall h: a+hin X, причем displaystylelim_{hto0}{bf f}(h)=0.

Так же, как и для числовых функций, можем доопределить вектор-функцию {bf  f} в нуле, положив, например, {bf f}(0)={bf 0}.

Точно так же, как и для числовых функций, можно доказать, что дифференцируемость равносильна существованию производной.

Определение. Пусть {bf r}:Xtomathbb{V}. Выберем произвольную точку O, и для каждого числа t из множества X отложим вектор {bf r}(t) от точки O. Рассмотрим множество концов этих векторов. Это множество называется годографом (траекторией) вектор-функции {bf r}.

Пример. Пусть X=mathbb{R}, tmapsto(cos t,sin t).

Годограф — окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

У разных вектор-функций может быть одна и та же траектория, например, рассмотрим две вектор-функции

    [X=mathbb{R}, tmapsto(cos2t,sin2t)]

и

    [X=mathbb{R}, tmapsto(cos t,sin t).]

Определение. Пусть M — траектория вектор-функции {bf r}. Тогда {bf r} называется параметризацией траектории (множества) M.

Пусть {bf r}:Xtomathbb{V}, fin X. Тогда {bf r}^{prime}(a) — скорость в момент времени a. Воспринимаем вектор-функцию как ее траекторию, то есть каждой точке ставим в соответствие конец вектора, отложенного от точки O. Тогда вектор {bf r}^{prime}(a) направлен по касательной к траектории вектор-функции {bf r} в точке, являющейся концом вектора {bf r}(a).

Теорема. Пусть {bf r}:Xtomathbb{V}. Пусть в множестве mathbb{V} выбран базис и пусть (x,y) — координаты вектор-функции {bf r} в этом базисе. Пусть a — произвольная точка множества X. Вектор-функция {bf r} дифференцируема в точке a тогда и только тогда, когда обе числовые функции x и y дифференцируемы в точке a и вектор {bf r}^{prime}(a) имеет координаты (x^{prime}(a),y^{prime}(a)).

Доказательство.

    [{bf r}^{prime}(a)=lim_{tto a}{{bf r}(t)-{bf r}(a)over t-a} .]

Найдем координаты вектор-функции

    [begin{array}{l}displaystyle tmapsto{{bf r}(t)-{bf r}(a)over t-a},\[4mm] displaystyle tmapsto{x(t)-x(a)over t-a},\[4mm] displaystyle tmapsto{y(t)-y(a)over t-a} . end{array}]

Первая функция имеет предел в точке aRightarrow вторая и третья функции имеют пределы в точке a. А предел первой функции — вектор, координаты которого — пределы второй и третьей функций, то есть вектор с координатами (x^{prime}(a),y^{prime}(a)).

Ссылка на основную публикацию