7. Предел последовательности векторов. Предел вектор-функции*

Предел последовательности векторов

Определение. Вектор {bf a} называется пределом последовательности векторов $({bf x}_n)$ , если $forallvarepsilon>0 exists N:forall n>N |{bf x}_n-{bf a}|<varepsilon$ .

Определение. Точка $A$ называется пределом последовательности точек $(P_n)$ , если $forallvarepsilon>0 exists N:forall n>N rho(P_n-A)<varepsilon$ .

Если выбрать на плоскости точку $O$ и все векторы ${bf x}_n$ отложить от точки $O$ и через $P_n$ обозначить концы векторов ${bf r}_n$ , отложенных от точки $O$ , то

$[{bf x}_nto{bf a}Leftrightarrow P_nto A]$

( $A$ — конец вектора ${bf a}$ , отложенного от точки $O$ ).

Определение предела равносильно следующему:

Определение. Точка $A$ называется пределом последовательности точек $P_n$ , если в любом открытом круге с центром в точке $A$ содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого.

Задача. Доказать, что в последнем определении слова “с центром в точке $A$ ” можно заменить на “содержащем точку $A$ ”.

Теорема. Пусть ${bf r}_n$ — последовательность векторов, ${bf a}$ — вектор на плоскости. Пусть на плоскости задан базис, и в этом базисе вектор ${bf r}_n$ имеет координаты $(x_n,y_n)$ , а вектор ${bf a}$ — координаты $(alpha,beta)$ . Утверждение ${bf r}_nto{bf a}$ равносильно утверждению $x_ntoalpha$ и $y_ntobeta$ .

Доказательство. Приведем доказательство в случае, когда базис декартов.

$[begin{array}{l} |{bf r}_n-{bf a}|=sqrt{(x_n-alpha)^2+(y_n-beta)^2},\ |{bf r}_n-{bf a}|ge|x_n-alpha|,\ |{bf r}_n-{bf a}|ge|y_n-beta|,\ |{bf r}_n-{bf a}|le|x_n-alpha|+|y_n-beta|, end{array}]$

так как $sqrt{a+b}lesqrt{a}+sqrt{b}$ .

Необходимость. Пусть ${bf r}_nto{bf a}$ .

$[begin{array}{l} forallvarepsilon>0exists N:forall n>N |{bf r}_n-{bf a}|<varepsilonRightarrow|x_n-alpha|<varepsilon,\ forallvarepsilon>0exists N:forall n>N |{bf r}_n-{bf a}|<varepsilonRightarrow|y_n-beta|<varepsilon . end{array}]$

Отсюда следует, что $x_ntoalpha,y_ntobeta$ .

Достаточность. Пусть $x_ntoalpha,y_ntobeta$ . Тогда по определению предела последовательности

$displaystyleexists N: forall n>N |x_n-alpha|<{varepsilonover 2}$ и $displaystyle forall n>N |y_n-beta|<{varepsilonover 2}$

Тогда $|x_n-alpha|+|y_n-beta|<varepsilonRightarrow |{bf r}_n-{bf a}|<varepsilon$ . Значит, ${bf r}_nto{bf a}$ .

Замечание. ${bf r}_nto{bf a}$ тогда и только тогда, когда числовая последовательность $|{bf r}_n-{bf a}|to0$ .

Предел вектор-функции

Определение. Пусть ${bf r}:Xtomathbb{V}$ , $a$ — предельная точка множества $X$ . Вектор ${bf A}$ называется пределом вектор-функции ${bf r}$ в точке $a$ , если для любой числовой последовательности $x_n$ , $x_nin X,x_nne a,x_nto aRightarrow {bf r}(x_n)to{bf A}$ .

Теорема. Пусть ${bf r}:Xtomathbb{V}$ , $a$ — предельная точка множества $X$ , пусть в множестве $mathbb{V}$ выбран базис и $(x,y)$ — координаты вектор-функции ${bf r}$ в этом базисе, ${bf A}$ — вектор, координаты которого в выбранном базисе $(alpha,beta)$ . Тогда утверждение

$[lim_{a}{bf r}={bf A}Leftrightarrowleft|begin{array}{l} displaystyle lim_{a} x=alpha,\[4mm] displaystylelim_{a}y=beta. end{array}right.]$

Доказательство. получается применением теоремы из предыдущего пункта.

Оставить комментарий

Свежие комментарии

alex в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “а что именно?” Апр 24, 18:31
alex в Иррациональные уравнения на примерах: “Ну эти уравнения не очень сложны, но рассказано очень хорошо про иррациональные уравнения - здесь я согласен!” Апр 24, 18:15
Константин в Иррациональные уравнения на примерах: “То чувство, когда всё разложено по полочкам и кажется очень просто, но на практике начинаются сложности. Математика требует не только…” Апр 15, 17:47
Настя в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “Реально помогло решить задачи дочке)” Апр 15, 17:43
Сергей в Квадратные уравнения. Примеры решения: “Никогда не был предрасположен к точным наукам. Вроде бы и примеры не сложные, но по истечении лет, и они вызывают…” Апр 15, 17:40