Предел последовательности векторов
Определение. Вектор , если
.
Определение. Точка называется пределом последовательности точек
, если
.
Если выбрать на плоскости точку и все векторы
отложить от точки
и через
обозначить концы векторов
, отложенных от точки
, то
( — конец вектора
, отложенного от точки
).
Определение предела равносильно следующему:
Определение. Точка называется пределом последовательности точек
, если в любом открытом круге с центром в точке
содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого.
Задача. Доказать, что в последнем определении слова “с центром в точке ” можно заменить на “содержащем точку
”.
Теорема. Пусть — последовательность векторов,
— вектор на плоскости. Пусть на плоскости задан базис, и в этом базисе вектор
имеет координаты
, а вектор
— координаты
. Утверждение
равносильно утверждению
и
.
Доказательство. Приведем доказательство в случае, когда базис декартов.
так как .
Необходимость. Пусть .
Отсюда следует, что .
Достаточность. Пусть . Тогда по определению предела последовательности
и
Тогда . Значит,
.
Замечание. тогда и только тогда, когда числовая последовательность
.
Предел вектор-функции
Определение. Пусть ,
— предельная точка множества
. Вектор
называется пределом вектор-функции
в точке
, если для любой числовой последовательности
,
.
Теорема. Пусть ,
— предельная точка множества
, пусть в множестве
выбран базис и
— координаты вектор-функции
в этом базисе,
— вектор, координаты которого в выбранном базисе
. Тогда утверждение
Доказательство. получается применением теоремы из предыдущего пункта.