7. Предел последовательности векторов. Предел вектор-функции*

Предел последовательности векторов

Определение. Вектор {bf a} называется пределом последовательности векторов ({bf x}_n), если forallvarepsilon>0 exists N:forall n>N |{bf x}_n-{bf a}|<varepsilon.

Определение. Точка A называется пределом последовательности точек (P_n), если forallvarepsilon>0 exists N:forall n>N rho(P_n-A)<varepsilon.

Если выбрать на плоскости точку O и все векторы {bf x}_n отложить от точки O и через P_n обозначить концы векторов {bf r}_n, отложенных от точки O, то

    [{bf x}_nto{bf a}Leftrightarrow P_nto A]

(A — конец вектора {bf a}, отложенного от точки O).

Определение предела равносильно следующему:

Определение. Точка A называется пределом последовательности точек P_n, если в любом открытом круге с центром в точке A содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого.

Задача. Доказать, что в последнем определении слова “с центром в точке A” можно заменить на “содержащем точку A”.

Теорема. Пусть {bf r}_n — последовательность векторов, {bf a} — вектор на плоскости. Пусть на плоскости задан базис, и в этом базисе вектор {bf r}_n имеет координаты (x_n,y_n), а вектор {bf a} — координаты (alpha,beta). Утверждение {bf r}_nto{bf a} равносильно утверждению x_ntoalpha и y_ntobeta.

Доказательство. Приведем доказательство в случае, когда базис декартов.

    [begin{array}{l} |{bf r}_n-{bf a}|=sqrt{(x_n-alpha)^2+(y_n-beta)^2},\ |{bf r}_n-{bf a}|ge|x_n-alpha|,\ |{bf r}_n-{bf a}|ge|y_n-beta|,\ |{bf r}_n-{bf a}|le|x_n-alpha|+|y_n-beta|, end{array}]

так как sqrt{a+b}lesqrt{a}+sqrt{b}.

Необходимость. Пусть {bf r}_nto{bf a}.

    [begin{array}{l} forallvarepsilon>0exists N:forall n>N |{bf r}_n-{bf a}|<varepsilonRightarrow|x_n-alpha|<varepsilon,\ forallvarepsilon>0exists N:forall n>N |{bf r}_n-{bf a}|<varepsilonRightarrow|y_n-beta|<varepsilon . end{array}]

Отсюда следует, что x_ntoalpha,y_ntobeta.

Достаточность. Пусть x_ntoalpha,y_ntobeta. Тогда по определению предела последовательности

displaystyleexists N: forall n>N |x_n-alpha|<{varepsilonover 2} и displaystyle forall n>N |y_n-beta|<{varepsilonover 2}

Тогда |x_n-alpha|+|y_n-beta|<varepsilonRightarrow |{bf r}_n-{bf a}|<varepsilon. Значит, {bf r}_nto{bf a}.

Замечание. {bf r}_nto{bf a} тогда и только тогда, когда числовая последовательность |{bf r}_n-{bf a}|to0.

Предел вектор-функции

Определение. Пусть {bf r}:Xtomathbb{V}, a — предельная точка множества X. Вектор {bf A} называется пределом вектор-функции {bf r} в точке a, если для любой числовой последовательности x_n, x_nin X,x_nne a,x_nto aRightarrow {bf r}(x_n)to{bf A}.

Теорема. Пусть {bf r}:Xtomathbb{V}, a — предельная точка множества X, пусть в множестве mathbb{V} выбран базис и (x,y) — координаты вектор-функции {bf r} в этом базисе, {bf A} — вектор, координаты которого в выбранном базисе (alpha,beta). Тогда утверждение

    [lim_{a}{bf r}={bf A}Leftrightarrowleft|begin{array}{l} displaystyle lim_{a} x=alpha,\[4mm] displaystylelim_{a}y=beta. end{array}right.]

Доказательство. получается применением теоремы из предыдущего пункта.

Ссылка на основную публикацию