6. Вектор-функция. Определение вектор-функции. Координаты вектор-функции*

Пусть mathbb{V}_2 — множество всех векторов на плоскости, mathbb{V}_3 — множество всех векторов в пространстве. Пусть mathbb{V} — либо mathbb{V}_2, либо mathbb{V}_3.

Определение. Пусть X — произвольное числовое множество. Вектор-функцией с областью определения X называется отображение множества X в множество mathbb{V}.

Обозначение. {bf r}:Xtomathbb{V}.

Другими словами, это правило, которое каждому числу из множества X ставит в соответствие вектор из множества mathbb{V}.

Определение. Пусть {bf r} — вектор-функция, {bf r}:Xtomathbb{V}_2, а {bf a} и {bf b} — базис mathbb{V}_2. Тогда для всякого tin X существуют числа x(t) и y(t), такие, что вектор {bf r}(t)=x(t){bf a}+y(t){bf b}. Таким образом, вектор-функция {bf r}(t) определяет две числовые функции x: tmapsto x(t) и y: tmapsto y(t). Числовые функции x и y называются координатами вектор-функции {bf r} в базисе {bf a},{bf b}.

Обратно: если в множестве mathbb{V}_2 выбран базис {bf a},{bf b}, а на множестве X заданы две числовые функции x и y, то с помощью формулы {bf r}(t)=x(t){bf a}+y(t){bf b} мы на множестве X зададим вектор-функцию. Таким образом, если в множестве mathbb{V}_2 выбран базис, то задание вектор-функции равносильно заданию двух числовых функций.

Теорема. Пусть {bf a},{bf b} — базис mathbb{V}_2, x_1,y_1 — координаты вектор-функции {bf r}_1 в базисе {bf a},{bf b}, x_2,y_2 — координаты вектор-функции {bf r}_2 в этом же базисе. Тогда x_1+x_2,y_1+y_2 — координаты вектор-функции {bf r}_1+{bf r}_2 в базисе {bf a},{bf b}.

Доказательство.

    [begin{array}{l} {bf r}_1(t)=x_1(t){bf a}+y_1(t){bf b},\ {bf r}_2(t)=x_2(t){bf a}+y_2(t){bf b},\ ({bf r}_1+{bf r}_2)(t)=(x_1+x_2)(t){bf a}+(y_1+y_2)(t){bf b}. end{array}]

Теорема. Пусть {bf a},{bf b} — базис mathbb{V}_2, x,y — координаты вектор-функции {bf r} в базисе {bf a},{bf b}, alpha — произвольное вещественное число. Тогда alpha x,alpha y — координаты вектор-функции alpha{bf r} в базисе {bf a},{bf b}.

Доказательство.

    [begin{array}{l} {bf r}(t)=x(t){bf a}+y(t){bf b},\ alpha{bf r}(t)=alpha x(t){bf a}+alpha y(t){bf b}. end{array}]

Теорема. Пусть {bf a},{bf b} — декартов базис mathbb{V}_2, пусть x_1,y_1 — координаты {bf r}_1 в базисе {bf a},{bf b}, а x_2,y_2 — координаты {bf r}_2 в базисе {bf a},{bf b}. Тогда скалярное произведение {bf r}_1cdot{bf r}_2 вычисляется по правилу

    [{bf r}_1cdot{bf r}_2(t)=(x_1x_2)(t)+(y_1y_2)(t) .]

Доказательство.

    [begin{array}{l} {bf r}_1(t)=x_1(t){bf a}+y_1(t){bf b},\ {bf r}_2(t)=x_2(t){bf a}+y_2(t){bf b}. end{array}]

Нужно эти формулы перемножить скалярно и воспользоваться тем, что {bf a}^2={bf b}^2=1, {bf a}cdot{bf b}=0.

Ссылка на основную публикацию