5. Вычисление производных элементарных функций

Таблица производных элементарных функций
1. y=x^{mu},qquad y^{prime}=mu x^{mu-1};

2. y=a^x,qquad y^{prime}=a^xln a;

3. y=log_a x,qquad displaystyle  y^{prime}={1over x}log_ae={1over xln a};

4. y=sin x,qquad y^{prime}=cos x;

y=cos x,qquad y^{prime}=-sin x;

y={rm tg}, x,qquad displaystyle y^{prime}={1over cos^2x};

y={rm ctg}, x,qquad displaystyle y^{prime}=-{1over sin^2x};

y={rm arcsin}, x,qquad displaystyle y^{prime}={1over sqrt{1-x^2}};

y={rm arccos}, x,qquad displaystyle y^{prime}=-{1over sqrt{1-x^2}};

y={rm arctg}, x,qquad displaystyle y^{prime}={1over 1+x^2}.

Доказательство.

1.

    [begin{array}{l} displaystyle y^{prime}=lim_{hto0}{y(x+h)-y(x)over h}=lim_{hto0}{(x+h)^{mu}-x^{mu}over h}=\[4mm] displaystyle =lim_{hto0}{x^{mu}left(1+{hover x}right)^{mu}-1over h}=lim_{hto0}x^{mu-1}{left(1+{hover x}right)^{mu}-1over {hover x}}=mu x^{mu-1} end{array}]

(по замечательному пределу  I).

2.

    [begin{array}{l} displaystyle y^{prime}=lim_{hto0}{y(x+h)-y(x)over h}=lim_{hto0}{a^{x+h}-a^xover h}=\[4mm] displaystyle =lim_{hto0}a^x{a^h-1over h}=a^xln a end{array}]

(по замечательному пределу III).

y=e^xLongrightarrow y^{prime}=e^x

3.

    [begin{array}{l} displaystyle y^{prime}=lim_{hto0}{y(x+h)-y(x)over h}=lim_{hto0}{log_a(x+h)-log_axover h}=\[4mm] displaystyle =lim_{hto0}{log_aleft(1+{hover x}right)over h}=lim_{hto0}{{1over x}log_aleft(1+{hover x}right)over {hover x}}=\[4mm] displaystyle ={1over x}lim_{hto0}{log_aleft(1+{hover x}right)over {hover x}}={1over x}log_ae={1over xln a} end{array}]

(по замечательному пределу II).

displaystyle a=e y=ln x y^{prime}={1over x}

4.

    [begin{array}{l} displaystyle y^{prime}=lim_{hto0}{y(x+h)-y(x)over h}=lim_{hto0}{sin(x+h)-sin xover h}=\[4mm] displaystyle =lim_{hto0}{2cos{2x+hover 2}sin{hover 2}over h}=lim_{hto0}{cosleft( x+{hover 2}right)sin{hover 2}over {hover 2}}=cos x end{array}]

(по замечательному пределу V).

Задачи.

1) Вычислите производные следующих функций:

а) f(x)=3-2x;

б) f(x)=sqrt[3]{x};

в) f(x)=x^2sqrt[4]{x^5};

г) f(x)=cos x-{rm tg}, x;

д) displaystyle f(x)=frac{sin x}{x}.

2) Пользуясь теоремой о производной композиции, найдите производные функций:

а) f(x)=sin2x;

б) f(x)=(x+1)^{50};

в) f(x)=sqrt{1-3x};

г) displaystyle f(x)=frac{1}{cos^2 x};

д) displaystyle frac{sin(cos x)}{cos(sin x)}.

3) Вычислите производные в точках:

а) Вычислите displaystyle f^{prime}left(frac{3}{5}right), если f(x)=sqrt{1+5x}.

б) Вычислите f^{prime}left(sqrt{2}right), если displaystyle f(x)=x^3{rm arcsin}, frac{1}{x}.

в) Вычислите f^{prime}(0),f^{prime}(2),f^{prime}(3), если f(x)=x^3(x-2)^2(x-3).

г) Вычислите f^{prime}(5), если f(x)=x(x-1)(x-2)ldots(x-10).

Ссылка на основную публикацию