5. Вычисление производных элементарных функций

Таблица производных элементарных функций
1. $y=x^{mu},qquad y^{prime}=mu x^{mu-1}$ ;

2. $y=a^x,qquad y^{prime}=a^xln a$ ;

3. $y=log_a x,qquad displaystyle y^{prime}={1over x}log_ae={1over xln a}$ ;

4. $y=sin x,qquad y^{prime}=cos x$ ;

$y=cos x,qquad y^{prime}=-sin x$ ;

$y={rm tg}, x,qquad displaystyle y^{prime}={1over cos^2x}$ ;

$y={rm ctg}, x,qquad displaystyle y^{prime}=-{1over sin^2x}$ ;

$y={rm arcsin}, x,qquad displaystyle y^{prime}={1over sqrt{1-x^2}}$ ;

$y={rm arccos}, x,qquad displaystyle y^{prime}=-{1over sqrt{1-x^2}}$ ;

$y={rm arctg}, x,qquad displaystyle y^{prime}={1over 1+x^2}$ .

Доказательство.

$[begin{array}{l} displaystyle y^{prime}=lim_{hto0}{y(x+h)-y(x)over h}=lim_{hto0}{(x+h)^{mu}-x^{mu}over h}=\[4mm] displaystyle =lim_{hto0}{x^{mu}left(1+{hover x}right)^{mu}-1over h}=lim_{hto0}x^{mu-1}{left(1+{hover x}right)^{mu}-1over {hover x}}=mu x^{mu-1} end{array}]$

(по замечательному пределу I).

$[begin{array}{l} displaystyle y^{prime}=lim_{hto0}{y(x+h)-y(x)over h}=lim_{hto0}{a^{x+h}-a^xover h}=\[4mm] displaystyle =lim_{hto0}a^x{a^h-1over h}=a^xln a end{array}]$

(по замечательному пределу III).

$y=e^xLongrightarrow y^{prime}=e^x$

$[begin{array}{l} displaystyle y^{prime}=lim_{hto0}{y(x+h)-y(x)over h}=lim_{hto0}{log_a(x+h)-log_axover h}=\[4mm] displaystyle =lim_{hto0}{log_aleft(1+{hover x}right)over h}=lim_{hto0}{{1over x}log_aleft(1+{hover x}right)over {hover x}}=\[4mm] displaystyle ={1over x}lim_{hto0}{log_aleft(1+{hover x}right)over {hover x}}={1over x}log_ae={1over xln a} end{array}]$

(по замечательному пределу II).

$displaystyle a=e y=ln x y^{prime}={1over x}$

$[begin{array}{l} displaystyle y^{prime}=lim_{hto0}{y(x+h)-y(x)over h}=lim_{hto0}{sin(x+h)-sin xover h}=\[4mm] displaystyle =lim_{hto0}{2cos{2x+hover 2}sin{hover 2}over h}=lim_{hto0}{cosleft( x+{hover 2}right)sin{hover 2}over {hover 2}}=cos x end{array}]$

(по замечательному пределу V).

Задачи.

1) Вычислите производные следующих функций:

а) $f(x)=3-2x$ ;

б) $f(x)=sqrt[3]{x}$ ;

в) $f(x)=x^2sqrt[4]{x^5}$ ;

г) $f(x)=cos x-{rm tg}, x$ ;

д) $displaystyle f(x)=frac{sin x}{x}$ .

2) Пользуясь теоремой о производной композиции, найдите производные функций:

а) $f(x)=sin2x$ ;

б) $f(x)=(x+1)^{50}$ ;

в) $f(x)=sqrt{1-3x}$ ;

г) $displaystyle f(x)=frac{1}{cos^2 x}$ ;

д) $displaystyle frac{sin(cos x)}{cos(sin x)}$ .

3) Вычислите производные в точках:

а) Вычислите $displaystyle f^{prime}left(frac{3}{5}right)$ , если $f(x)=sqrt{1+5x}$ .

б) Вычислите $f^{prime}left(sqrt{2}right)$ , если $displaystyle f(x)=x^3{rm arcsin}, frac{1}{x}$ .

в) Вычислите $f^{prime}(0),f^{prime}(2),f^{prime}(3)$ , если $f(x)=x^3(x-2)^2(x-3)$ .

г) Вычислите $f^{prime}(5)$ , если $f(x)=x(x-1)(x-2)ldots(x-10)$ .

Оставить комментарий

Свежие комментарии

alex в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “а что именно?” Апр 24, 18:31
alex в Иррациональные уравнения на примерах: “Ну эти уравнения не очень сложны, но рассказано очень хорошо про иррациональные уравнения - здесь я согласен!” Апр 24, 18:15
Константин в Иррациональные уравнения на примерах: “То чувство, когда всё разложено по полочкам и кажется очень просто, но на практике начинаются сложности. Математика требует не только…” Апр 15, 17:47
Настя в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “Реально помогло решить задачи дочке)” Апр 15, 17:43
Сергей в Квадратные уравнения. Примеры решения: “Никогда не был предрасположен к точным наукам. Вроде бы и примеры не сложные, но по истечении лет, и они вызывают…” Апр 15, 17:40