42. Существование показательных функций

Другое определение степени с вещественным показателем дано в конспекте математического анализа за 11 класс. Там же доказываются все свойства степени. Весь этот материал вполне доступен и в 10 классе, только определение степени нужно использовать то, что дано здесь.

Вспомним неравенство Бернулли

    [gamma^n>1+n(gamma-1)quad n>1,ninmathbb{N},gamma>1.]

Положив здесь gamma=b^{1/n} (b>1), получим неравенство

    [b^{1/n}-1<{b-1over n}.]

Определение. Пусть a>0,ane1,xinmathbb{R}. Выберем последовательность x_nto x,x_ninmathbb{Q}. displaystyle lim_{x_nto x}a^{x_n} называется степенью числа aс показателем x.

Докажем единственность степени (корректность определения).

Предположим противное. Пусть существуют две последовательности x_n,y_nto x, такие, что forall n x_n,y_ninmathbb{Q}, a^{x_n}to alpha, a^{y_n}tobeta,alpha>beta.

Поскольку при достаточно больших n разность x_n-y_n меньше 1/m, minmathbb{N}, то, по неравенству

    [displaystyle b^{1/n}-1<{b-1over n}]

имеем

    [a^{x_n}-a^{y_n}=a^{y_n}(a^{x_n-y_n}-1)<a^{y_n}(a^{1/m}-1)<a^{y_n}{a-1over m}.]

Так как exists M: y_n<M, то выберем displaystyle m>{a^M(a-1)over varepsilon} для любого varepsilon>0. Тогда

    [a^{x_n}-a^{y_n}<varepsilon .]

Рассмотрим функцию f(x) вида f(x)=a^x, где a>0,ane1,xinmathbb{R}. Докажем, что эта функция является показательной функцией с основанием a.

1. Докажем строгую монотонность f(x) в случае a>1. Она следует из свойств степеней с рациональными показателями

    [begin{array}{l} r_1,r_2inmathbb{Q}, r_1>r_2,a>1Longrightarrow a^{r_1}>a^{r_2},\ r_1,r_2inmathbb{Q}, r_1>r_2,a<1Longrightarrow a^{r_1}<a^{r_2}. end{array}]

а также теоремы о предельном переходе в неравенствах.

В самом деле, из теоремы о предельном переходе в неравенствах получаем, что f(x_1)ge f(x_2) при x_1>x_2. Предположим, что выполняется равенство. Поскольку между любыми двумя иррациональными числами существует сколь угодно много рациональных чисел, то тогда для всех этих рациональных чисел значения в них функции f будут равны, что противоречит строгой монотонности f на множестве рациональных чисел.

Случай 0<a<1 рассматривается аналогично.

2. Свойство 2 из определения показательной функции легко следует из теоремы о пределе произведения.

Таким образом, осталось доказать, что f(1)=a. Но это очевидно.

Ссылка на основную публикацию