Другое определение степени с вещественным показателем дано в конспекте математического анализа за 11 класс. Там же доказываются все свойства степени. Весь этот материал вполне доступен и в 10 классе, только определение степени нужно использовать то, что дано здесь.
Вспомним неравенство Бернулли
Положив здесь , получим неравенство
Определение. Пусть . Выберем последовательность
.
называется степенью числа
с показателем
.
Докажем единственность степени (корректность определения).
Предположим противное. Пусть существуют две последовательности , такие, что
,
.
Поскольку при достаточно больших разность
меньше
, то, по неравенству
имеем
Так как , то выберем
для любого
. Тогда
Рассмотрим функцию вида
, где
. Докажем, что эта функция является показательной функцией с основанием
.
1. Докажем строгую монотонность в случае
. Она следует из свойств степеней с рациональными показателями
а также теоремы о предельном переходе в неравенствах.
В самом деле, из теоремы о предельном переходе в неравенствах получаем, что при
. Предположим, что выполняется равенство. Поскольку между любыми двумя иррациональными числами существует сколь угодно много рациональных чисел, то тогда для всех этих рациональных чисел значения в них функции
будут равны, что противоречит строгой монотонности
на множестве рациональных чисел.
Случай рассматривается аналогично.
2. Свойство 2 из определения показательной функции легко следует из теоремы о пределе произведения.
Таким образом, осталось доказать, что . Но это очевидно.