42. Существование показательных функций

Другое определение степени с вещественным показателем дано в конспекте математического анализа за 11 класс. Там же доказываются все свойства степени. Весь этот материал вполне доступен и в 10 классе, только определение степени нужно использовать то, что дано здесь.

Вспомним неравенство Бернулли

$[gamma^n>1+n(gamma-1)quad n>1,ninmathbb{N},gamma>1.]$

Положив здесь $gamma=b^{1/n} (b>1)$ , получим неравенство

$[b^{1/n}-1<{b-1over n}.]$

Определение. Пусть $a>0,ane1,xinmathbb{R}$ . Выберем последовательность $x_nto x,x_ninmathbb{Q}$ . $displaystyle lim_{x_nto x}a^{x_n}$ называется степенью числа $a$ с показателем $x$ .

Докажем единственность степени (корректность определения).

Предположим противное. Пусть существуют две последовательности $x_n,y_nto x$ , такие, что $forall n x_n,y_ninmathbb{Q}$ , $a^{x_n}to alpha, a^{y_n}tobeta,alpha>beta$ .

Поскольку при достаточно больших $n$ разность $x_n-y_n$ меньше $1/m, minmathbb{N}$ , то, по неравенству

$[displaystyle b^{1/n}-1<{b-1over n}]$

имеем

$[a^{x_n}-a^{y_n}=a^{y_n}(a^{x_n-y_n}-1)<a^{y_n}(a^{1/m}-1)<a^{y_n}{a-1over m}.]$

Так как $exists M: y_n<M$ , то выберем $displaystyle m>{a^M(a-1)over varepsilon}$ для любого $varepsilon>0$ . Тогда

$[a^{x_n}-a^{y_n}<varepsilon .]$

Рассмотрим функцию $f(x)$ вида $f(x)=a^x$ , где $a>0,ane1,xinmathbb{R}$ . Докажем, что эта функция является показательной функцией с основанием $a$ .

1. Докажем строгую монотонность $f(x)$ в случае $a>1$ . Она следует из свойств степеней с рациональными показателями

$[begin{array}{l} r_1,r_2inmathbb{Q}, r_1>r_2,a>1Longrightarrow a^{r_1}>a^{r_2},\ r_1,r_2inmathbb{Q}, r_1>r_2,a<1Longrightarrow a^{r_1}<a^{r_2}. end{array}]$

а также теоремы о предельном переходе в неравенствах.

В самом деле, из теоремы о предельном переходе в неравенствах получаем, что $f(x_1)ge f(x_2)$ при $x_1>x_2$ . Предположим, что выполняется равенство. Поскольку между любыми двумя иррациональными числами существует сколь угодно много рациональных чисел, то тогда для всех этих рациональных чисел значения в них функции $f$ будут равны, что противоречит строгой монотонности $f$ на множестве рациональных чисел.

Случай $0<a<1$ рассматривается аналогично.

2. Свойство 2 из определения показательной функции легко следует из теоремы о пределе произведения.

Таким образом, осталось доказать, что $f(1)=a$ . Но это очевидно.

Оставить комментарий

Свежие комментарии

alex в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “а что именно?” Апр 24, 18:31
alex в Иррациональные уравнения на примерах: “Ну эти уравнения не очень сложны, но рассказано очень хорошо про иррациональные уравнения - здесь я согласен!” Апр 24, 18:15
Константин в Иррациональные уравнения на примерах: “То чувство, когда всё разложено по полочкам и кажется очень просто, но на практике начинаются сложности. Математика требует не только…” Апр 15, 17:47
Настя в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “Реально помогло решить задачи дочке)” Апр 15, 17:43
Сергей в Квадратные уравнения. Примеры решения: “Никогда не был предрасположен к точным наукам. Вроде бы и примеры не сложные, но по истечении лет, и они вызывают…” Апр 15, 17:40