41. Свойства непрерывных функций. Асимптоты

Лемма о вложенных промежутках. Пусть даны монотонно возрастающая последовательность (x_n) и монотонно убывающая последовательность (y_n), причем всегда

    [x_n<y_n .]

Если их разность x_n-y_n стремится к нулю, то обе последовательности имеют конечный предел:

    [c=lim_{ntoinfty}x_n=lim_{ntoinfty}y_n .]

Доказательство. При всех значениях n имеем y_nle y_1, а значит, ввиду того, что x_n<y_n, и x_n<y_1(n=1,2,3,ldots). Возрастающая последовательность (x_n) ограничена сверху, следовательно, она имеет конечный предел displaystyle c=lim_{ntoinfty}x_n.

Аналогично для последовательности (y_n) будем иметь

    [y_n>x_nge x_1,]

так что и она имеет конечный предел displaystyle c '=lim_{ntoinfty}y_n.

Разность обоих пределов

    [c '-c=lim_{ntoinfty}(y_n-x_n)]

по условию равна нулю, т.е. c '=c.

Теорема Больцано — Коши. Пусть функция f(x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a,b] и на концах этого промежутка принимает значения разных знаков. Тогда между a и b необходимо найдется такая точка c, в которой функция обращается в нуль.

Доказательство. Для определенности положим, что f(a)<0,f(b)>0. Разделим промежуток [a,b] пополам точкой displaystyle {a+bover 2}. Если функция f(x) обратится в нуль в этой точке, то теорема доказана. Пусть displaystyle fleft({a+bover 2}right)ne0. Тогда на концах одного из промежутков displaystyle left[a,{a+bover 2}right], displaystyle left[{a+bover 2},bright] функция будет принимать значения разных знаков (отрицательное на левом конце и положительное — на правом). Обозначив этот промежуток через [a_1,b_1], имеем

    [f(a_1)<0,f(b_1)>0.]

Разделим пополам промежуток [a_1,b_1] и снова отбросим тот случай, когда f(x) обращается в нуль в середине displaystyle {a_1+b_1over 2} этого промежутка.

Обозначим через [a_2,b_2] ту из половин промежутка, для которой

    [f(a_2)<0,f(b_2)>0.]

Продолжим процесс построения промежутков. При этом мы либо после конечного числа шагов получим точку, где функция обращается в нуль, — и доказательство теоремы завершится, — либо получим бесконечную последовательность вложенных один в другой промежутков. В этом случае для n-го промежутка [a_n,b_n](n=1,2,3,ldots) будем иметь

    [f(a_n)<0,f(b_n)>0,]

причем длина его, очевидно, равна

    [b_n-a_n={b-aover 2^n}.]

Если в качестве последовательности (x_n) возьмем последовательность (a_n) левых концов построенных отрезков, а в качестве последовательности (y_n) — последовательность (b_n) правых их концов, то по лемме о вложенных промежутках получим, что существует точка cin[a,b], для которой

    [lim_{ntoinfty}a_n=lim_{ntoinfty}b_n=c.]

Покажем, что эта точка удовлетворяет требованиям теоремы.

Переходя к пределу в неравенствах f(a_n)<0,f(b_n)>0, и используя при этом непрерывность функции (в частности, в точке x=c), получим, что одновременно

    [f(c)=lim_{ntoinfty}f(a_n)le0, f(c)=lim_{ntoinfty}f(b_n)ge0,]

так что, действительно, f(c)=0.

Асимптоты

Определение. Прямая y=ax+b называется наклонной асимптотой функции f при xto+infty, если

    [lim_{xto+infty}(f(x)-ax-b)=0.]

Аналогично определяется асимптота при xto-infty.

Определение. Прямая x=a называется вертикальной асимптотой функции f, если существует какой-нибудь из односторонних пределов функции f в точке a, и он равен +infty или -infty.

Задачи.

1) Уравнение x^3+ax+1=0 имеет три вещественных корня. Докажите, что существует такое положительное число varepsilon, что для любого числа b из промежутка (a-varepsilon, a+varepsilon) уравнение x^3+bx+1=0 имеет три вещественных корня.

2) Докажите, что следующее уравнение имеет корень:

    [{rm arctg}^3x=2{rm tg},x-1 .]

3) Многоугольник M и прямая l лежат в одной плоскости. Докажите, что существует прямая, параллельная l, которая разбивает M на два равновеликих многоугольника.

4) Пусть f — непрерывная функция, заданная на отрезке [0;1], все значения которой содержатся в отрезке [0;1]. Докажите, что уравнение f(x)=x имеет корень.

Ссылка на основную публикацию