40. Непрерывные функции. Непрерывность рациональных и тригонометрических функций

Определение (непрерывности). Пусть функция f задана на множестве X, a — точка множества X. Если a не является предельной точкой, то функция f считается непрерывной в точке a. Если a — предельная точка множества X, то функция f называется непрерывной в точке a, если существует предел функции f в точке a, который равен f(a):

    [lim_{xto a}f(x)=f(a) .]

Функция f называется непрерывной, если она непрерывна в каждой точке из области определения.

Примеры непрерывных функций

1. Полином и дробно-рациональная функция

Функция f(x)=x, очевидно, непрерывна во всем промежутке (-infty,+infty): если x_nto a, то f(x_n)=x_nto a=f(a).

Отсюда, на основании теоремы о пределе произведения функций, вытекает непрерывность любого выражения вида

    [cx^{m}=ccdotoverbrace{xcdot xldots x}^{m},]

а затем и многочлена (целой рациональной функции)

    [a_0x^n+a_1x^{n-1}+ldots+a_{n-1}x+a_n.]

Непрерывность имеет место во всем промежутке (-infty,+infty).

Очевидно, что и частное двух многочленов (дробно-рациональная функция)

    [{a_0x^n+a_1x^{n-1}+ldots+a_{n-1}x+a_nover b_0x^m+b_1x^{m-1}+ldots+b_{m-1}x+b_m}]

также будет непрерывной при каждом значении x, кроме тех, которые обращают знаменатель в нуль.

2. Тригонометрические функции

Докажем сначала неравенство

    [sin x<x forall xin(0,pi/2) .]

В круге радиуса R с центром в точке O рассмотрим острый угол AOB. Имеем: площадь треугольника AOB меньше площади сектора AOB. Обозначим через x радианную меру угла AOB, тогда

    [{1over 2}R^2sin x<{1over 2}R^2x.]

Отсюда — по сокращении на displaystyle {1over 2}R^2 — и приходим к требуемому неравенству.

Далее, поскольку при |x|>pi/2>1|sin x|le1, то получаем неравенство, верное уже для всех значений x:

    [|sin x|le |x| .]

Отсюда имеем

    [|sin x-sin a|=2cdotleft|sin{x-aover 2}right|cdotleft|cos{x+aover 2}right|le2cdotleft|sin{x-aover 2}right|le2cdot{|x-a|over 2} .]

Следовательно,

    [|sin x-sin a|le|x-a| ,]

каковы бы ни были значения x и a.

По теореме о предельном переходе в неравенствах имеем

    [lim_{xto a}|sin x-sin a|=0 ,]

а значит, и

    [lim_{xto a}sin x=sin a ,]

что и доказывает непрерывность sin x.

Отсюда следует непрерывность функций

    [cos x,{rm tg}, x={sin xover cos x}, {rm ctg}, x={cos xover sin x} .]

Исключение представляют точки, в которых знаменатели обращаются в нуль.

Односторонние пределы

Определение. Пусть функция f задана на множестве X, a — произвольное вещественное число. Рассмотрим множества

    [X_1=Xcap(-infty;a);quad X_2=Xcap(a;+infty) .]

Пусть X_1ne{},X_2ne{}. Рассмотрим сужение функции f на множестве X_1. Если a — предельная точка множества X_1, то рассмотрим

    [lim_{xto a}f|_{X_1} .]

Если этот предел существует, то он называется пределом функции f в точке a слева и обозначается

    [lim_{xto a-0}f(x) .]

Если a — предельная точка множества X_2, то рассмотрим

    [lim_{xto a}f|_{X_2} .]

Если этот предел существует, то он называется пределом функции f в точке a справа и обозначается

    [lim_{xto a+0}f(x) .]

Упражнение. Пусть функция f задана на промежутке X, a — внутренняя точка X. Докажите, что для того чтобы у функции f существовал предел в точке a, необходимо и достаточно, чтобы у функции f существовали пределы в точке a слева и справа, и они совпадали.

Задачи.

1) Исследуйте следующие функции на непрерывность:

1. y=[x] .

2. y=left{ begin{array}{ll} displaystyle xsinfrac{1}{x},&xne0,\ 0,&x=0 . end{array}right.

3.
y=left{ begin{array}{ll} displaystyle x^2,&xinmathbb{Q},\ 4x-3,&xinmathbb{R}setminusmathbb{Q}. end{array}right.

2) Приведите, если это возможно, примеры функций, непрерывных

1. ровно в одной точке;

2. ровно в двух точках;

3. ровно в трех точках.

3) Найдите все значения параметров a и b, такие, что данная функция f непрерывна на всей числовой оси:

    [f(x)=left{begin{array}{ll} 3x-1,&xge2,\ ax+b,&0<x<2,\ x-1,&xle0. end{array}right.]

Ссылка на основную публикацию