39. Предел функции

Определение. Пусть X — произвольное числовое множество, a — произвольное вещественное число. Точка a называется предельной точкой множества X, если в любом открытом промежутке, содержащем точку a, есть, по крайней мере, одно число из множества X, отличное от a.

Точка a называется изолированной, если она не является предельной.

Упражнение 1. Докажите, что точка a является предельной точкой множества X в том и только в том случае, если существует последовательность, составленная из чисел множества X, отличных от a, которая стремится к a.

Определение. Пусть функция f задана на множестве X(f:Xtomathbb{R}), a — предельная точка множества X. Число A называется пределом функции fв точке a, если для любой последовательности (x_n), состоящей из чисел множества X, отличных от a и стремящейся к a, соответствующая последовательность значений функции (f(x_n)) стремится к A.

    [forall (x_n) left.begin{array}{l} forall n x_nne a,\ forall n x_nin X,\ x_nto a, end{array}right}Longrightarrow f(x_n)to A.]

Из единственности предела последовательности следует единственность предела функции.

Обозначение. displaystylelim_a fqquadlim_{xto a}f(x).

Определение. Пусть f:Xtomathbb{R}, X_1subset X. Зададим на множестве X_1 новую функцию по правилу:

    [forall xin X_1quad xto f(x) .]

Эта функция называется сужением f(x) на множестве X_1f|_{X_1}.

Упражнение 2. Пусть f:Xtomathbb{R}, a — предельная точка множества X, U — произвольный открытый промежуток, содержащий точку a, X_1=Ucap X. Тогда утверждение: предел функции f в точке a равен A равносильно утверждению: предел функции f|_{X_1} равен A.

Теорема о пределе суммы и произведения. Пусть f,g:Xto mathbb{R}, a — предельная точка множества X. Пусть

    [lim_{xto a}f(x)=A,lim_{xto a}g(x)=B .]

Тогда

    [lim_{xto a}(f+g)(x)=A+B, lim_{xto a}fg(x)=AB .]

Доказательство. Возьмем произвольную последовательность (x_n)to ax_nin X,x_nne a). Тогда f(x_n)to A, g(x_n)to B. По теореме о пределе суммы для последовательностей

    [f(x_n)+g(x_n)to A+B .]

Но так как

    [(f+g)(x_n)=f(x_n)+g(x_n)]

(из определения суммы функций), то

    [(f+g)(x_n)to A+B .]

Доказательство второго утверждения аналогично.

Теорема о пределе частного. Пусть f,g:Xtomathbb{R}, a — предельная точка множества X, пусть forall xin Xg(x)ne0. Пусть

    [lim_{xto a}f(x)=A,lim_{xto a}g(x)=B .]

Тогда

    [lim_{xto a}{fover g}(x)={Aover B} .]

Доказательство аналогично доказательству теоремы о пределе суммы.

Теорема о предельном переходе в неравенствах. Пусть
f,g:Xtomathbb{R}, a — предельная точка множества X, пусть forall xin Xf(x)le g(x). Пусть

    [lim_{xto a}f(x)=A,lim_{xto a}g(x)=B.]

Тогда Ale B.

Доказательство. Возьмем (x_n), xin X,x_nne a,x_nto a. По условию, f(x_n)to A, g(x_n)to B. forall n f(x_n)le g(x_n). Откуда по теореме о предельном переходе в неравенствах для последовательностей вытекает, что Ale B.

Замечание. Из упражнения 2 следует, что в теореме о предельном переходе в неравенствах достаточно предполагать, что неравенство f(x)le g(x) справедливо лишь в достаточной близости от точки a, точнее, достаточно предполагать, что найдется такой открытый промежуток U, содержащий a, что неравенство f(x)le g(x) выполняется forall xin Xcap U.

Теорема. Пусть f,g,h:Xtomathbb{R}, a — предельная точка множества X. Пусть

    [lim_{xto a}f(x)=lim_{xto a}h(x)=A .]

Пусть forall xin Xf(x)le g(x)le h(x). Тогда displaystylelim_{xto a}g(x)=A.

Доказательство. Возьмем (x_n), x_nin X, x_nne a, x_nto a.

    [left.begin{array}{l} f(x_n)to A,\ h(x_n)to A, end{array}right|Longrightarrow g(x_n)to A.]

Задачи.

1) Выясните, существует ли предел функции f в точке a:

1. f(x)=x-2, a=1 .

2. f(x)=left{begin{array}{ll} -2x,&xle-1,\ x+3,&x>-1, end{array}right. , a=-1 .

3. f(x)={ x}, a=4 .

4. displaystyle f(x)=xsinfrac{1}{x}, a=0 .

2) Вычислите пределы:

1. displaystyle lim_{xto2}(2x^2+3x-7) .

2. displaystylelim_{xto0}frac{x^2+x}{x^2-3x} .

3. displaystyle lim_{xto1}frac{x^2+3x-4}{2x^3-x^2-1} .

4. displaystylelim_{xto2}frac{sqrt{3x-2}-2}{x-2} .

5. displaystyle lim_{xto0}frac{sqrt{x+3}-sqrt{2x+3}}{x^2+x} .

Ссылка на основную публикацию