35. Обратные тригонометрические функции

I. Рассмотрим функцию f(x)=sin x, где xin[-pi/2,pi/2] (см. рис. 48).

Рис. 48

Множество значений этой функции — [-1,1].

Рассмотрим функцию varphi(x)=arcsin x, где xin[-1,1]. Эта функция — функция, обратная функции f.

II. Рассмотрим функцию f(x)=cos x, где xin[0,pi] (см. рис. 49).

Рис. 49

Функция varphi(x)=arccos x — обратная функция.

III. Рассмотрим функцию f(x)={rm tg}, x, где xin(-pi/2,pi/2) (см. рис. 50).

Рис. 50

Функция varphi(x)={rm arctg}, x — обратная функция.

IV. Рассмотрим функцию f(x)={rm ctg}, x, где xin(0,pi) (см. рис. 51).

Рис. 51

Функция varphi(x)={rm arcctg}, x — обратная функция.

Функции {rm arcsin} и {rm arctg} строго возрастают, {rm arccos} и {rm arcctg} строго убывают. Функции {rm arcsin} и {rm arctg} нечетные.

Это следует из общего утверждения:

Утверждение. Функция, обратная нечетной функции, является нечетной функцией.

Доказательство. Пусть f — нечетная функция, varphi — обратная к ней. Пусть f(a)=b. Тогда f(-a)=-b. Следовательно, varphi(b)=a,varphi(-b)=-a. Отсюда varphi(-b)=-varphi(b). И это верно для любого числа b из области определения varphi(forall bin E_f,forall bin D_{varphi}).

Теорема. Для любого ain[-1,1]

    [{rm arcsin}, a+{rm arccos}, a={piover 2}.]

    [forall ainmathbb{R} {rm arctg}, a+{rm arcctg}, a={piover 2}.]

Доказательство.

    [begin{array}{l} sin({rm arcsin}, a)=a,\ sin(pi/2-{rm arccos}, a)=cos({rm arccos}, a)=a,\ {rm arcsin}, ain[-pi/2,pi/2], {rm arccos}, ain[0,pi],\ pi/2-{rm arccos}, ain[-pi/2,pi/2]. end{array}]

Так как на отрезке [-pi/2,pi/2] синус строго монотонен, то из равенства синусов двух чисел этого отрезка вытекает равенство этих чисел.

    [begin{array}{l} {rm arcsin}, a=pi/2-{rm arccos}, a,\ {rm arcsin}, a+{rm arccos}, a=pi/2. end{array}]

Второе равенство доказывается аналогично.

Теорема. forall ain[-1,1]

    [{rm arccos},(-a)=pi-{rm arccos}, a,]

    [forall ainmathbb{R} {rm arcctg},(-a)=pi-{rm arcctg}, a.]

Доказательство.

    [begin{array}{l} {rm arcctg},(-a)=pi/2-{rm arctg}, (-a)=pi/2+{rm arctg}, a=\ =pi-(pi/2-{rm arctg}, a)=pi-{rm arcctg}, a. end{array}]

Первое равенство доказывается аналогично.

Задачи.

1) Найдите значения выражений

1. displaystyle {rm arcsin}, frac{1}{3}+{rm arccos},frac{1}{3} .

2. displaystyle {rm arcsin},frac{2}{3}-{rm arccos},frac{2}{3} .

3. {rm arctg},left(1+sqrt{2}right)-{rm arctg},left(1-sqrt{2}right) .

2) Постройте графики функций

1. y={rm arcsin}, x+{rm arccos}, x .

2. y={rm tg}({rm arctg}, x) .

3. y={rm arcsin}(cos x) .

3) Докажите, что для любого значения x из промежутка [-1,1] справедливо неравенство

displaystyle{rm arcsin}, xcdot{rm arccos}, xlefrac{pi^2}{16} .

Ссылка на основную публикацию