35. Обратные тригонометрические функции

I. Рассмотрим функцию $f(x)=sin x$ , где $xin[-pi/2,pi/2]$ (см. рис. 48).

Рис. 48

Множество значений этой функции — $[-1,1]$ .

Рассмотрим функцию $varphi(x)=arcsin x$ , где $xin[-1,1]$ . Эта функция — функция, обратная функции $f$ .

II. Рассмотрим функцию $f(x)=cos x$ , где $xin[0,pi]$ (см. рис. 49).

Рис. 49

Функция $varphi(x)=arccos x$ — обратная функция.

III. Рассмотрим функцию $f(x)={rm tg}, x$ , где $xin(-pi/2,pi/2)$ (см. рис. 50).

Рис. 50

Функция $varphi(x)={rm arctg}, x$ — обратная функция.

IV. Рассмотрим функцию $f(x)={rm ctg}, x$ , где $xin(0,pi)$ (см. рис. 51).

Рис. 51

Функция $varphi(x)={rm arcctg}, x$ — обратная функция.

Функции ${rm arcsin}$ и ${rm arctg}$ строго возрастают, ${rm arccos}$ и ${rm arcctg}$ строго убывают. Функции ${rm arcsin}$ и ${rm arctg}$ нечетные.

Это следует из общего утверждения:

Утверждение. Функция, обратная нечетной функции, является нечетной функцией.

Доказательство. Пусть $f$ — нечетная функция, $varphi$ — обратная к ней. Пусть $f(a)=b$ . Тогда $f(-a)=-b$ . Следовательно, $varphi(b)=a,varphi(-b)=-a$ . Отсюда $varphi(-b)=-varphi(b)$ . И это верно для любого числа $b$ из области определения $varphi$ $(forall bin E_f,forall bin D_{varphi})$ .

Теорема. Для любого $ain[-1,1]$

Доказательство.

$[begin{array}{l} sin({rm arcsin}, a)=a,\ sin(pi/2-{rm arccos}, a)=cos({rm arccos}, a)=a,\ {rm arcsin}, ain[-pi/2,pi/2], {rm arccos}, ain[0,pi],\ pi/2-{rm arccos}, ain[-pi/2,pi/2]. end{array}]$

Так как на отрезке $[-pi/2,pi/2]$ синус строго монотонен, то из равенства синусов двух чисел этого отрезка вытекает равенство этих чисел.

$[begin{array}{l} {rm arcsin}, a=pi/2-{rm arccos}, a,\ {rm arcsin}, a+{rm arccos}, a=pi/2. end{array}]$

Второе равенство доказывается аналогично.

Теорема. $forall ain[-1,1]$

Доказательство.

$[begin{array}{l} {rm arcctg},(-a)=pi/2-{rm arctg}, (-a)=pi/2+{rm arctg}, a=\ =pi-(pi/2-{rm arctg}, a)=pi-{rm arcctg}, a. end{array}]$

Первое равенство доказывается аналогично.

Задачи.

1) Найдите значения выражений

1. $displaystyle {rm arcsin}, frac{1}{3}+{rm arccos},frac{1}{3} .$

2. $displaystyle {rm arcsin},frac{2}{3}-{rm arccos},frac{2}{3} .$

3. ${rm arctg},left(1+sqrt{2}right)-{rm arctg},left(1-sqrt{2}right) .$

2) Постройте графики функций

1. $y={rm arcsin}, x+{rm arccos}, x .$

2. $y={rm tg}({rm arctg}, x) .$

3. $y={rm arcsin}(cos x) .$

3) Докажите, что для любого значения $x$ из промежутка $[-1,1]$ справедливо неравенство

$displaystyle{rm arcsin}, xcdot{rm arccos}, xlefrac{pi^2}{16} .$

Оставить комментарий

Свежие комментарии

alex в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “а что именно?” Апр 24, 18:31
alex в Иррациональные уравнения на примерах: “Ну эти уравнения не очень сложны, но рассказано очень хорошо про иррациональные уравнения - здесь я согласен!” Апр 24, 18:15
Константин в Иррациональные уравнения на примерах: “То чувство, когда всё разложено по полочкам и кажется очень просто, но на практике начинаются сложности. Математика требует не только…” Апр 15, 17:47
Настя в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “Реально помогло решить задачи дочке)” Апр 15, 17:43
Сергей в Квадратные уравнения. Примеры решения: “Никогда не был предрасположен к точным наукам. Вроде бы и примеры не сложные, но по истечении лет, и они вызывают…” Апр 15, 17:40