34. Понятие обратной функции

Определение. Функция f называется обратимой, если для любых двух различных чисел x_1 и x_2, принадлежащих D_f, числа f(x_1) и f(x_2) также различны.

Пример 1. y=3x+1

    [x_1ne x_2Rightarrow 3x_1ne3x_2Rightarrow 3x_1+1ne 3x_2+1.]

Пример 2. y=x^2, xin[0;+infty).

Пример 3. y=sin x, xin[-pi/2,pi/2].

Пример 4. y=cos x, xin[0,pi].

Пример 5. y={rm tg}, x, xin(-pi/2,pi/2).

Пример 6. y={rm ctg}, x, xin(0,pi).

Обратимость всех этих функций — частный случай следующей теоремы

Теорема. Строго монотонная функция обратима.

Функция является обратимой в том и только в том случае, если любая прямая, перпендикулярная оси ординат, имеет с ее графиком не более одной общей точки.

Определение. Пусть функция f обратима, D_f — ее область определения, E_f — множество ее значений. Для каждого числа pin E_f обозначим через varphi(p) такое число q из множества D_f, что f(q)=p (такое число существует и притом только одно). Мы получили новую функцию с областью определения E_f и множеством значений D_f. Эта функция называется обратной функции f.

Пример 7. f(x)=5x-2.

Выяснить, обратима ли эта функция, и если обратима, то найти обратную.

    [begin{array}{l} f(q)=p,\ 5q-2=p,\ q=(p+2)/5,\ varphi(x)=(x+2)/5. end{array}]

Функция f обратима, varphi — обратная функция.

Теорема. Графики взаимно обратных функций в одной и той же координатной плоскости симметричны относительно биссектрисы первой и третьей четверти.

Доказательство. Пусть функция f с областью определения D и множеством значений E имеет обратную функцию varphi. Пусть Gamma_f,Gamma_{varphi} — графики функций f и varphi соответственно. Точка M(a,b) принадлежит Gamma_fLeftrightarrow b=f(a)Leftrightarrow a=varphi(b)Leftrightarrow точка M'(b,a)inGamma_{varphi}. Осталось доказать, что точки M и M' симметричны относительно биссектрисы первой и третьей четверти. Эта биссектриса состоит из точек C(t,t), где t — любое вещественное число. Чтобы доказать, что точки M и M' симметричны относительно биссектрисы, достаточно проверить, что биссектриса является серединным перпендикуляром отрезка MM', то есть что любая точка C(t,t) равноудалена от точек M и M'.

    [begin{array}{l} CM=sqrt{(t-a)^2+(t-b)^2},\ CM'=sqrt{(t-b)^2+(t-a)^2},\ CM=CM'. end{array}]

Задача. Докажите, что функция g(x)=x^2-6x+10 необратима. Найдите функцию, обратную g(x) на промежутке [3;+infty) и постройте ее график.

Ссылка на основную публикацию