33. Исследование тригонометрических функций

I. f(x)=sin x

1) Область определения — mathbb{R}.

2) Множество значений — [-1;1].

Доказательство. Множество значений функции f есть множество ординат точек числовой окружности.

3) Функция строго возрастает на любом промежутке вида displaystyle left[-{piover 2}+2pi k;{piover 2}+2pi kright], kinmathbb{Z}, строго убывает на любом отрезке вида displaystyle left[{piover 2}+2pi k;{3piover 2}+2pi kright], kinmathbb{Z}.

Доказательство. Пусть x_1,x_2 — две точки такого промежутка, x_1>x_2.

    [begin{array}{l} displaystyle sin x_1-sin x_2=2sin{x_1-x_2over 2}cos{x_1+x_2over 2},\[3mm] displaystyle {x_1-x_2over 2}inleft(0;{piover 2}right]Rightarrowsin{x_1-x_2over 2}>0,\[3mm] displaystyle {x_1+x_2over 2}inleft(-{piover 2}+2pi k;{piover 2}+2pi kright)Rightarrowcos{x_1+x_2over 2}>0. end{array}]

Следовательно, sin x_1>sin x_2.

4) График — синусоида.

5) 2pi — главный период.

6) Корни {pi k|kinmathbb{Z}}.

II. f(x)=cos x

1) Область определения — mathbb{R}.

2) Множество значений — [-1;1].

Доказательство. Множество значений функции f есть множество абсцисс точек числовой окружности.

3) Функция строго убывает на любом промежутке вида displaystyle left[2pi k; pi+2pi kright], kinmathbb{Z}, строго возрастает на любом отрезке вида left[pi+2pi k;2pi+2pi kright], kinmathbb{Z}.

Доказательство. Пусть x_1,x_2 — две точки такого промежутка, x_1>x_2.

    [begin{array}{l} displaystyle cos x_1-cos x_2=-2sin{x_1-x_2over 2}sin{x_1+x_2over 2},\[3mm] displaystyle {x_1-x_2over 2}inleft(0;{piover 2}right]Rightarrowsin{x_1-x_2over 2}>0,\[3mm] displaystyle {x_1+x_2over 2}inleft(2pi k;pi+2pi kright) Rightarrowsin{x_1+x_2over 2}>0. end{array}]

Следовательно, cos x_1<cos x_2.

4) График — синусоида.

5) 2pi — главный период.

6) Корни displaystyle left{left.{piover 2}+pi kright| kinmathbb{Z}right}.

III. f(x)={rm tg}, x

1) Область определения — displaystyle mathbb{R}setminusleft{left.{piover 2}+pi kright| kinmathbb{Z}right}.

2) Множество значений — mathbb{R}.

Лемма.

Рис. 44

Если точка P_{alpha} не лежит на оси ординат, то точка пересечения прямой OP_{alpha} с прямой x=1 имеет координаты (1;{rm tg},alpha).

Доказательство. Воспользуемся рисунком (см. рис. 44). Опустим из точки P_{alpha} перпендикуляр на ось Ox. Пусть он пересечет ось Ox в точке B. Треугольники OP_{alpha}B и OT_{alpha}A подобны. Координаты точки P_{alpha}(cosalpha,sinalpha), точки T_{alpha}(1;y). Отсюда

    [{1over cosalpha}={yover sinalpha}, y={sinalphaover cosalpha}={rm tg}, alpha .]

Определение. Прямая x=1 называется линией тангенсов.

Рис. 45

Воспользуемся рисунком (рис. 45). Пусть yinmathbb{R}. Докажем,что y является значением тангенса. Для этого найдем на линии тангенсов точку M с ординатой y и обозначим через N какую-либо точку пересечения прямой OM с числовой окружностью. Пусть N=P_{alpha}. Тогда y={rm tg},alpha.

3) Функция строго возрастает на любом промежутке вида displaystyle left(-{piover2}+pi k;{piover2}+pi kright), kinmathbb{Z}.

Доказательство. Пусть x_1,x_2 — две точки такого промежутка, x_1>x_2.

    [begin{array}{l} displaystyle {rm tg}, x_1-{rm tg}, x_2={sin x_1over cos x_1} -{sin x_2over cos x_2}={sin(x_1-x_2)over cos x_1cos x_2},\[3mm] x_1-x_2in(0;pi)Rightarrowsin(x_1-x_2)>0. end{array}]

Если k четно, то cos x_1>0,cos  x_2>0. Если k нечетно, то cos x_1<0,cos x_2<0.Следовательно, cos x_1cos x_2>0Rightarrow {rm tg}, x_1>{rm tg}, x_2.

4) График — тангенсоида.

5) pi — главный период.

6) Корни тангенса совпадают с корнями синуса.

На рис. 46 приведен график функции y={rm tg}, x.

Рис. 46

На рис. 47 приведен график функции y={rm ctg}, x.

Рис. 47

Ссылка на основную публикацию