30. Корни тригонометрических функций

Теорема.

    [sin x=0Leftrightarrow xin{pi k| kinmathbb{Z}} .]

Доказательство.

Рис. 39

    [begin{array}{l} sin x=0Leftrightarrow xin{ A,C},\ {bf 1.} P(x)=ALeftrightarrow P(x)=P(0) Leftrightarrow xin{0+2pi n|ninmathbb{Z}}Leftrightarrow\ Leftrightarrow xin{picdot2n|ninmathbb{Z}} .\ {bf 2.} P(x)=CLeftrightarrow P(x)=P(pi) Leftrightarrow xin{pi+2pi n|ninmathbb{Z}}Leftrightarrow\ Leftrightarrow xin{pi(2n+1)|ninmathbb{Z}} . end{array}]

Объединением этих двух множеств является множество

    [{pi k|kinmathbb{Z}}.]

Теорема.

    [cos x=0Leftrightarrow xinleft{{piover 2}+pi kleft| kinmathbb{Z}right.right} .]

Доказательство.

    [begin{array}{l} displaystyle cos x=0Leftrightarrow sinleft(-{piover 2}+xright)=0Leftrightarrow-{piover 2}+x=pi k, kinmathbb{Z}Leftrightarrow\[3mm] displaystyle Leftrightarrow x={piover 2}+pi k, kinmathbb{Z} . end{array}]

Теорема.

    [begin{array}{l} {rm tg}, x=0Leftrightarrowsin x=0,\ {rm ctg}, x=0Leftrightarrowcos x=0 . end{array}]

Доказательство очевидно.

Ссылка на основную публикацию