29. Периодические функции

Определение. Число T называется периодом функции f, если forall xin D_fx+Tin D_f и f(x+T)=f(x).

Если forall xin D_f числа x+T и x-T принадлежат D_f и f(x+T)=f(x), то f(x-T)=f(x-T+T)=f(x).

Определение. Функция называется периодической, если у нее есть период, не равный нулю.

Примеры.

1) f(n)=(-1)^n, ninmathbb{Z}, f(x)={x}.

Любое целое число является периодом этой функции.

2) f(x)=sin x,

f(x)=cos x,

f(x)={rm tg}, x,

f(x)={rm ctg}, x.

Число 2pi является периодом любой из этих функций.

Теорема. Если T_1,T_2 — периоды функции f, то T_1+T_2,T_1-T_2 — тоже периоды f.

Доказательство. Пусть xin D_f. Тогда

    [left.begin{array}{l} x+T_1in D_f,\ x-T_1in D_f, end{array}right|Rightarrow begin{array}{l} (x+T_1)+T_2in D_f,\ (x-T_1)-T_2in D_f. end{array}]

    [begin{array}{c} x+(T_1+T_2)in D_f,\ x-(T_1+T_2)in D_f,\ f(x+(T_1+T_2))=f((x+T_1)+T_2)=f(x+T_1)=f(x). end{array}]

Аналогично доказывается, что T_1-T_2 — период.

Следствие. Если T — период f, ninmathbb{Z}, то nT — период f.

Определение. Наименьший из всех положительных периодов функции f называется главным периодом этой функции.

Постоянная функция периодична, но не имеет главного периода.

Функция Дирихле

    [f(x)=left{begin{array}{ll} 1,& xinmathbb{Q},\ 0,& xnotinmathbb{Q}. end{array}right.]

Любое рациональное число является периодом функции Дирихле.

Теорема. Если T — главный период функции f, то любой ее период имеет вид nT, где ninmathbb{Z}.

Доказательство. Пусть T_1 — произвольный период функции f и пусть n=left[{T_1over T}right]. Тогда

    [begin{array}{c} nle{T_1over T}<n+1,\[1mm] nTle T_1<(n+1)T,\ 0le T_1-nT<T. end{array}]

T_1-nT является периодом функции f. Если бы было T_1-nT>0, то T_1-nT было бы положительным периодом, меньшим T. Это противоречит тому, что T — главный период. Значит, T_1-nT=0Leftrightarrow T_1=nT.

Теорема. 2pi — главный период функций синус и косинус.

Доказательство. 1.

    [forall xinmathbb{R} begin{array}{l} sin(x+2pi)=sin x,\ cos(x+2pi)=cos x. end{array}]

Значит, 2pi — период функций синус и косинус.

2. Так как решениями уравнения sin x=1 являются числа pi/2+2pi k, kinmathbb{Z} и только эти числа и так как разность между любыми двумя из этих чисел по модулю не меньше 2pi, то синус не может иметь положительного периода, меньшего 2pi.

Аналогично доказательство проводится для косинуса.

Теорема. Главный период функций тангенс и котангенс — pi.

Доказательство. Аналогично доказательству предыдущей теоремы.

Ссылка на основную публикацию