28. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение

Теорема. Для любых x и y справедливы равенства

    [begin{array}{c} displaystyle cos x+cos y=2cos{x+yover 2}cos{x-yover 2},\[3mm] displaystyle cos x-cos y=-2sin{x+yover 2}sin{x-yover 2},\[3mm] displaystyle sin x+sin y=2sin{x+yover 2}cos{x-yover 2},\[3mm] displaystyle sin x-sin y=2cos{x+yover 2}sin{x-yover 2} . end{array}]

Доказательство. Все четыре формулы доказываются преобразованием правой части в сумму

    [begin{array}{l} cos(alpha-beta)=cosalphacosbeta+sinalphasinbeta,\ cos(alpha+beta)=cosalphacosbeta-sinalphasinbeta,\[2mm] 2cosalphacosbeta=cos(alpha-beta)+cos(alpha+beta),\ alpha-beta=x,alpha+beta=y,\[3mm] displaystyle alpha={x+yover 2},beta={y-xover 2} . end{array}]

Ссылка на основную публикацию