25. Некоторые значения тригонометрических функций

Теорема. displaystyle sin{piover 4}=cos{piover 4}={sqrt{2}over 2}.

Доказательство. Так как displaystyle {piover 4}+{piover 4}={piover 2}, то displaystyle sin{piover 4}=cos{piover 4} (теорема 2).

    [sin^2{piover 4}+cos^2{piover 4}=1Rightarrow2sin^2{piover 4}=1Rightarrow sin^2{piover 4}={1over 2} .]

Так как displaystyle {piover 4}inleft(0;{piover 2}right), то displaystyle sin{piover 4}>0.

    [sin{piover 4}={1over sqrt{2}}={sqrt{2}over 2} .]

Теорема.

    [begin{array}{l} displaystyle sin{piover 6}=cos{piover 3}={1over 2},\[3mm] displaystyle cos{piover 6}=sin{piover 3}={sqrt{3}over 2} . end{array}]

Доказательство.

    [begin{array}{l} displaystyle cos{2piover 3}=cosleft({piover 3}+{piover 3}right)=cos{piover 3}cos{piover 3}-sin{piover 3}sin{piover 3}=\[3mm] displaystyle =cos^2{piover 3}-sin^2{piover 3}=cos^2{piover 3}-left(1-cos^2{piover 3}right)=2cos^2{piover 3}-1.\[3mm] displaystyle cos{2piover 3}=cosleft(pi-{piover 3}right)=-cos{piover 3}. end{array}]

displaystylecos{piover 3} — корень уравнения 2x^2+x-1=0.

    [x_1={1over 2},x_2=-1.]

Так как displaystyle {piover 3}inleft(0;{piover 2}right), то displaystyle cos{piover 3}>0Rightarrow cos{piover 3}ne-1Rightarrowcos{piover 3}={1over 2}.

    [begin{array}{l} displaystyle sin{piover 6}=cosleft({piover 2}-{piover 6}right)=cos{piover 3}={1over 2},\[3mm] displaystyle sin{piover 3}=sqrt{1-cos^2{piover 3}}=sqrt{1-{1over 4}}={sqrt{3}over 2},\[3mm] displaystyle cos{piover 6}=sinleft({piover 2}-{piover 6}right)=sin{piover 3}={sqrt{3}over 2}. end{array}]

Задачи.

1) Найдите displaystyle sinleft(frac{pi}{4}+alpharight), если displaystyle sinalpha=frac{3}{5},alphainleft(frac{pi}{4};2piright).

2) Найдите displaystyle {rm tg},left(frac{pi}{4}-alpharight), если {rm tg},alpha=2.

Ссылка на основную публикацию