25. Некоторые значения тригонометрических функций

Теорема. $displaystyle sin{piover 4}=cos{piover 4}={sqrt{2}over 2}$ .

Доказательство. Так как $displaystyle {piover 4}+{piover 4}={piover 2}$ , то $displaystyle sin{piover 4}=cos{piover 4}$ (теорема 2).

$[sin^2{piover 4}+cos^2{piover 4}=1Rightarrow2sin^2{piover 4}=1Rightarrow sin^2{piover 4}={1over 2} .]$

Так как $displaystyle {piover 4}inleft(0;{piover 2}right)$ , то $displaystyle sin{piover 4}>0$ .

Теорема.

$[begin{array}{l} displaystyle sin{piover 6}=cos{piover 3}={1over 2},\[3mm] displaystyle cos{piover 6}=sin{piover 3}={sqrt{3}over 2} . end{array}]$

Доказательство.

$[begin{array}{l} displaystyle cos{2piover 3}=cosleft({piover 3}+{piover 3}right)=cos{piover 3}cos{piover 3}-sin{piover 3}sin{piover 3}=\[3mm] displaystyle =cos^2{piover 3}-sin^2{piover 3}=cos^2{piover 3}-left(1-cos^2{piover 3}right)=2cos^2{piover 3}-1.\[3mm] displaystyle cos{2piover 3}=cosleft(pi-{piover 3}right)=-cos{piover 3}. end{array}]$

$displaystylecos{piover 3}$ — корень уравнения $2x^2+x-1=0$ .

$[x_1={1over 2},x_2=-1.]$

Так как $displaystyle {piover 3}inleft(0;{piover 2}right)$ , то $displaystyle cos{piover 3}>0Rightarrow cos{piover 3}ne-1Rightarrowcos{piover 3}={1over 2}$ .

$[begin{array}{l} displaystyle sin{piover 6}=cosleft({piover 2}-{piover 6}right)=cos{piover 3}={1over 2},\[3mm] displaystyle sin{piover 3}=sqrt{1-cos^2{piover 3}}=sqrt{1-{1over 4}}={sqrt{3}over 2},\[3mm] displaystyle cos{piover 6}=sinleft({piover 2}-{piover 6}right)=sin{piover 3}={sqrt{3}over 2}. end{array}]$

Задачи.

1) Найдите $displaystyle sinleft(frac{pi}{4}+alpharight)$ , если $displaystyle sinalpha=frac{3}{5},alphainleft(frac{pi}{4};2piright)$ .

2) Найдите $displaystyle {rm tg},left(frac{pi}{4}-alpharight)$ , если ${rm tg},alpha=2$ .

Оставить комментарий

Свежие комментарии

alex в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “а что именно?” Апр 24, 18:31
alex в Иррациональные уравнения на примерах: “Ну эти уравнения не очень сложны, но рассказано очень хорошо про иррациональные уравнения - здесь я согласен!” Апр 24, 18:15
Константин в Иррациональные уравнения на примерах: “То чувство, когда всё разложено по полочкам и кажется очень просто, но на практике начинаются сложности. Математика требует не только…” Апр 15, 17:47
Настя в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “Реально помогло решить задачи дочке)” Апр 15, 17:43
Сергей в Квадратные уравнения. Примеры решения: “Никогда не был предрасположен к точным наукам. Вроде бы и примеры не сложные, но по истечении лет, и они вызывают…” Апр 15, 17:40