24. Знаки тригонометрических функций

Теорема.

1. Если displaystyle alphainleft(2pi k;2pi k+{piover 2}right), kinmathbb{Z}, то sinalpha > 0, cosalpha>0,{rm tg}, alpha>0,{rm ctg}, alpha>0.

2. Если displaystyle alphainleft(2pi k+{piover 2};2pi k+piright), kinmathbb{Z}, то sinalpha > 0, cosalpha < 0, {rm tg}, alpha<0,{rm ctg}, alpha<0.

3. Если displaystyle alphainleft(2pi k+pi;2pi k+{3piover 2}right), kinmathbb{Z}, то sinalpha < 0, cosalpha < 0, {rm tg}, alpha>0,{rm ctg}, alpha>0.

4. Если displaystyle alphainleft(2pi k+{3piover 2};2pi k+2piright), kinmathbb{Z}, то sinalpha < 0, cosalpha > 0, {rm tg}, alpha<0,{rm ctg}, alpha<0.

Доказательство. В силу следствия 1 к теореме 5 достаточно доказать эту теорему только для случая k=0.

Первое утверждение следует из свойства 4) определения синуса и косинуса. Второе утверждение следует из случая k=4l+1 формул приведения. Третье утверждение — из случая k=4l+2, четвертое — из случая k=4l+3 формул приведения.

Задачи.

1) Найдите cos(alpha-beta), если sinalpha+sinbeta=1,cosalpha+cosbeta=sqrt{2}.

2) Найдите displaystyle cos(alpha+beta+gamma), если sinalpha=frac{3}{5}, sinbeta=frac{12}{13},singamma=frac{7}{25},alpha,beta,gammainleft[0;frac{pi}{2}right].

3) Найдите {rm tg}, alpha,{rm tg}, beta, если {rm tg}, alpha+{rm tg}, beta=2, {rm tg}, (alpha+beta)=4, {rm tg}, alpha < {rm tg}, beta.

Ссылка на основную публикацию