20. Тригонометрические функции. Числовая окружность. Синус и косинус

Определение. Числовой окружностью называется окружность на координатной плоскости с центром в начале координат и единичным радиусом.

Числовая окружность изображена на рис. 37:

Рис. 37

Иначе говоря, это множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению x^2+y^2=1.

Представим себе, что точка P равномерно движется по числовой окружности против часовой стрелки со скоростью 1.

Будем предполагать, что это движение обладает следующими свойствами (P(t) — положение точки в момент времени t):

1. forall tinmathbb{R}P(t) — точка числовой окружности.
2. P(0)=A.
3. P(pi/2)=B.
4. forall tin(0;pi/2)P(t) имеет положительные координаты.
5. P(alpha)=P(beta)Rightarrowalpha-beta=2pi k, где kinmathbb{Z}.
6. alpha-beta=alpha_1-beta_1Rightarrow расстояние между точками P(alpha) и P(beta) равно расстоянию между точками P(alpha_1) и P(beta_1).

Примечание. Расстояние между точками M_1(x_1,y_1) и M_2(x_2,y_2) вычисляется по формуле

    [M_1M_2=sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}.]

Определение синуса и косинуса

Определение. Предположим, что точка P равномерно движется по числовой окружности так, что выполняются свойства 1–6. Абсцисса точки P(t) называется косинусом числа t, ордината — синусом числа t.

    [begin{array}{lll} displaystyle cos0=1,&cos{piover 2}=0,&forall tinmathbb{R} sin^2t+cos^2t=1,\ displaystyle sin0=0,&sin{piover 2}=1. end{array}]

Задачи.

1) Найдите координаты точек P(pi),P(3pi/2),P(-pi/6).

2) Изобразите на числовой окружности дугу, описываемую движущейся точкой в течение промежутков времени

1. [-pi/2;3pi/2).

2. (2;9).

3) Отметьте на числовой окружности положения, которые занимает движущаяся точка в моменты времени

1. t=pi k/6, где k — целое число.

2. t=-pi/2+pi k/4, где k — целое число.

4) Расположите в порядке возрастания числа

    [sin 1,cos 2,sin 3,cos 4,sin 5,cos 6,sin 7,cos 8 .]

5) Решите уравнения и неравенства (для этого не нужно знать тригонометрические формулы):

1. sin t=0.

2. |sin t|=|cos t|.

3. sin t=sqrt{2}+cos t.

4. cos t>0.

5. sin t-cos tge 1.

Ссылка на основную публикацию