20. Тригонометрические функции. Числовая окружность. Синус и косинус

Определение. Числовой окружностью называется окружность на координатной плоскости с центром в начале координат и единичным радиусом.

Числовая окружность изображена на рис. 37:

Рис. 37

Иначе говоря, это множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению .

Представим себе, что точка равномерно движется по числовой окружности против часовой стрелки со скоростью 1.

Будем предполагать, что это движение обладает следующими свойствами ( — положение точки в момент времени ):

1. — точка числовой окружности.
2. .
3. .
4. имеет положительные координаты.
5. , где .
6. расстояние между точками и равно расстоянию между точками и .

Примечание. Расстояние между точками и вычисляется по формуле

Определение синуса и косинуса

Определение. Предположим, что точка равномерно движется по числовой окружности так, что выполняются свойства 1–6. Абсцисса точки называется косинусом числа , ордината — синусом числа .

Задачи.

1) Найдите координаты точек .

2) Изобразите на числовой окружности дугу, описываемую движущейся точкой в течение промежутков времени

1. .

2. .

3) Отметьте на числовой окружности положения, которые занимает движущаяся точка в моменты времени

1. , где — целое число.

2. , где — целое число.

4) Расположите в порядке возрастания числа

5) Решите уравнения и неравенства (для этого не нужно знать тригонометрические формулы):

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .