Пример 1. Масса стержня
— масса стержня на участке от
до
.
Пример 2. Путь.
— путь, пройденный движущейся точкой за время от
до
.
Пример 3. Площадь подграфика.
—
— площадь подграфика функции
на промежутке
.
Определение. Пусть дан отрезок . Обозначим через
множество всех замкнутых промежутков, лежащих внутри отрезка
. Функция промежутка — это отображение множества
в множество вещественных чисел
(правило, по которому каждому отрезку, лежащему внутри
, ставится в соответствие вещественное число).
Определение. Пусть (
— функция промежутка). Функция
называется аддитивной, если
Функции промежутка можно складывать и умножать на вещественные числа.
Задача 1. Докажите, что если и
— аддитивные функции промежутка, то
— аддитивная функция промежутка.
Задача 2. Докажите, что если — аддитивная функция промежутка,
, то
— аддитивная функция промежутка.
Приращение функции
Пусть . Будем обозначать
приращение функции
.
Докажем, что приращение — аддитивная функция промежутка:
Теорема. Пусть ,
— аддитивная функция. Тогда существует
:
.
Доказательство. Зададим функцию по правилу:
. Проверим, что
совпадает с
. Возьмем произвольный промежуток
и проверим, что
.
Последнее равенство справедливо в силу аддитивности функции .
Теорема. Пусть . Тогда
— постоянная.
Доказательство. Достаточность. Пусть — постоянная. Докажем, что
.
Возьмем произвольный и вычислим
:
Необходимость. Пусть .
В частности, это справедливо для всевозможных отрезков вида :
Следовательно, — постоянная функция.
Задача 3. Докажите, что если — аддитивная функция промежутка, то
.