19. Функции промежутка

Пример 1. Масса стержня

$m[alpha;beta]$ — масса стержня на участке от $alpha$ до $beta$ .

Пример 2. Путь.

$S[alpha;beta]$ — путь, пройденный движущейся точкой за время от $alpha$ до $beta$ .

Пример 3. Площадь подграфика.

$forall xin[A;B]$ $f(x)ge0$ — $S[alpha,beta]$ — площадь подграфика функции $f$ на промежутке $[alpha,beta]$ .

Определение. Пусть дан отрезок $[A;B]$ . Обозначим через $Psi$ множество всех замкнутых промежутков, лежащих внутри отрезка $[A;B]$ . Функция промежутка — это отображение множества $Psi$ в множество вещественных чисел $(Psitomathbb{R})$ (правило, по которому каждому отрезку, лежащему внутри $[A;B]$ , ставится в соответствие вещественное число).

Определение. Пусть $T:Psitomathbb{R}$ ( $T$ — функция промежутка). Функция $T$ называется аддитивной, если $forall[alpha,beta],[beta,gamma]inPsi$

Функции промежутка можно складывать и умножать на вещественные числа.

Задача 1. Докажите, что если $T_1$ и $T_2$ — аддитивные функции промежутка, то $T_1+T_2$ — аддитивная функция промежутка.

Задача 2. Докажите, что если $T$ — аддитивная функция промежутка, $alphainmathbb{R}$ , то $alpha T$ — аддитивная функция промежутка.

Приращение функции

Пусть $f:[a,b]tomathbb{R}$ . Будем обозначать $Delta f$ приращение функции $f$ .

$[begin{array}{l} [alpha,beta]subset[a,b],\[2mm] [ alpha,beta]mapsto f(beta)-f(alpha),\[2mm] Delta f[alpha,beta]=f(beta)-f(alpha). end{array}]$

Докажем, что приращение — аддитивная функция промежутка:

$[begin{array}{l} Delta f[alpha,beta]=f(beta)-f(alpha),\[2mm] Delta f[beta,gamma]=f(gamma)-f(beta),\[2mm] Delta f[alpha,gamma]=f(gamma)-f(alpha),\[2mm] Delta f[alpha,beta]+Delta , f[beta,gamma]=f(beta)-f(alpha)+f(gamma)-f(beta)=f(gamma)-f(alpha)=Delta f[alpha,gamma] . end{array}]$

Теорема. Пусть $T:Psitomathbb{R}$ , $T$ — аддитивная функция. Тогда существует $f:[a,b]tomathbb{R}$ : $Delta f=T$ .

Доказательство. Зададим функцию $f$ по правилу: $f(x)=T[a,x]$ . Проверим, что $Delta f$ совпадает с $T$ . Возьмем произвольный промежуток $[alpha,beta]subset[a,b]$ и проверим, что $Delta f[alpha,beta]=T[alpha,beta]$ .

Последнее равенство справедливо в силу аддитивности функции $T$ .

Теорема. Пусть $f,g:[a,b]tomathbb{R}$ . Тогда $Delta f=Delta g$ $Leftrightarrow$ $f-g$ — постоянная.

Доказательство. Достаточность. Пусть $f-g$ — постоянная. Докажем, что $Delta f=Delta g$ .

Возьмем произвольный $[alpha,betasubset[a,b]$ и вычислим $Delta f[alpha,beta]$ :

Необходимость. Пусть $Delta f=Delta g$ .

$[begin{array}{l} forall[alpha,beta]subset[a,b]quadDelta f[alpha,beta]=Delta g[alpha,beta] ,\[2mm] f(beta)-f(alpha)=g(beta)-g(alpha). end{array}]$

В частности, это справедливо для всевозможных отрезков вида $[a,x]$ :

Следовательно, $f-g$ — постоянная функция.

Задача 3. Докажите, что если $T$ — аддитивная функция промежутка, то $T[alpha,alpha]=0$ .

Оставить комментарий

Свежие комментарии

alex в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “а что именно?” Апр 24, 18:31
alex в Иррациональные уравнения на примерах: “Ну эти уравнения не очень сложны, но рассказано очень хорошо про иррациональные уравнения - здесь я согласен!” Апр 24, 18:15
Константин в Иррациональные уравнения на примерах: “То чувство, когда всё разложено по полочкам и кажется очень просто, но на практике начинаются сложности. Математика требует не только…” Апр 15, 17:47
Настя в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “Реально помогло решить задачи дочке)” Апр 15, 17:43
Сергей в Квадратные уравнения. Примеры решения: “Никогда не был предрасположен к точным наукам. Вроде бы и примеры не сложные, но по истечении лет, и они вызывают…” Апр 15, 17:40