19. Функции промежутка

Пример 1. Масса стержня

m[alpha;beta] — масса стержня на участке от alpha до beta.

Пример 2. Путь.

S[alpha;beta] — путь, пройденный движущейся точкой за время от alpha до beta.

Пример 3. Площадь подграфика.

forall xin[A;B]f(x)ge0S[alpha,beta] — площадь подграфика функции f на промежутке [alpha,beta].

Определение. Пусть дан отрезок [A;B]. Обозначим через Psi множество всех замкнутых промежутков, лежащих внутри отрезка [A;B]. Функция промежутка — это отображение множества Psi в множество вещественных чисел (Psitomathbb{R}) (правило, по которому каждому отрезку, лежащему внутри [A;B], ставится в соответствие вещественное число).

Определение. Пусть T:Psitomathbb{R} (T — функция промежутка). Функция T называется аддитивной, если forall[alpha,beta],[beta,gamma]inPsi

    [T[alpha,beta]+T[beta,gamma]=T[alpha,gamma] .]

Функции промежутка можно складывать и умножать на вещественные числа.

Задача 1. Докажите, что если T_1 и T_2 — аддитивные функции промежутка, то T_1+T_2 — аддитивная функция промежутка.

Задача 2. Докажите, что если T — аддитивная функция промежутка, alphainmathbb{R}, то alpha T — аддитивная функция промежутка.

Приращение функции

Пусть f:[a,b]tomathbb{R}. Будем обозначать Delta f приращение функции f.

    [begin{array}{l} [alpha,beta]subset[a,b],\[2mm] [ alpha,beta]mapsto f(beta)-f(alpha),\[2mm] Delta f[alpha,beta]=f(beta)-f(alpha). end{array}]

Докажем, что приращение — аддитивная функция промежутка:

    [begin{array}{l} Delta f[alpha,beta]=f(beta)-f(alpha),\[2mm] Delta f[beta,gamma]=f(gamma)-f(beta),\[2mm] Delta f[alpha,gamma]=f(gamma)-f(alpha),\[2mm] Delta f[alpha,beta]+Delta , f[beta,gamma]=f(beta)-f(alpha)+f(gamma)-f(beta)=f(gamma)-f(alpha)=Delta f[alpha,gamma] . end{array}]

Теорема. Пусть T:Psitomathbb{R}, T — аддитивная функция. Тогда существует f:[a,b]tomathbb{R}: Delta f=T.

Доказательство. Зададим функцию f по правилу: f(x)=T[a,x]. Проверим, что Delta f совпадает с T. Возьмем произвольный промежуток [alpha,beta]subset[a,b] и проверим, что Delta f[alpha,beta]=T[alpha,beta].

    [Delta f[alpha,beta]=f(beta)-f(alpha)=T[a,beta]-T[a,alpha]=T[alpha,beta] .]

Последнее равенство справедливо в силу аддитивности функции T.

Теорема. Пусть f,g:[a,b]tomathbb{R}. Тогда Delta f=Delta gLeftrightarrowf-g — постоянная.

Доказательство. Достаточность. Пусть f-g — постоянная. Докажем, что Delta f=Delta g.

    [exists cinmathbb{R}: forall xin[a,b] f(x)-g(x)=c f(x)=g(x)+c.]

Возьмем произвольный [alpha,betasubset[a,b] и вычислим Delta f[alpha,beta]:

    [Delta f[alpha,beta]=f(beta)-f(alpha)=(g(beta)+c)-(g(alpha)+c) =g(beta)-g(alpha)=Delta g[alpha,beta] .]

Необходимость. Пусть Delta f=Delta g.

    [begin{array}{l} forall[alpha,beta]subset[a,b]quadDelta f[alpha,beta]=Delta g[alpha,beta] ,\[2mm] f(beta)-f(alpha)=g(beta)-g(alpha). end{array}]

В частности, это справедливо для всевозможных отрезков вида [a,x]:

    [f(x)-g(x)=f(a)-g(a) .]

Следовательно, f-g — постоянная функция.

Задача 3. Докажите, что если T — аддитивная функция промежутка, то T[alpha,alpha]=0.

Ссылка на основную публикацию