19. Функции , где

I. y=x^nquad(ninmathbb{N})

Область определения (-infty;+infty).

Если x_1>x_2ge0, то x_1^n>x_2^n, так что функция строго возрастает на [0;+infty).

Если n четно, то при x_1<x_2le0

    [begin{array}{c} -x_1>-x_2ge0,\ (-x_1)^n>(-x_2)^n,\ x_1^n>x_2^n, end{array}]

так что функция строго убывает на (-infty;0].

Если n нечетно, то при x_1<x_2le0

    [begin{array}{c} -x_1>-x_2ge0,\ (-x_1)^n>(-x_2)^n,\ -x_1^n>-x_2^n,\ x_1^n<x_2^n, end{array}]

так что функция строго возрастает на (-infty;0].

Если n четно, то множество значений [0;+infty), если n нечетно, то (-infty;+infty).

Доказательство. Равенство (sqrt[n]{p})^n=p верно при всех pge0, если n четно; при всех p, если n нечетно.

Определение. Функция, график которой симметричен относительно начала координат, называется нечетной. Функция, график которой симметричен относительно оси ординат, называется четной.

При нечетном n функция y=x^n нечетна. При четном n функция y=x^n четна (рис. 33).

II. y=sqrt[n]{x},quad ninmathbb{N}.

Область определения [0;+infty), если n четно, (-infty;+infty), если n нечетно.

Множество значений [0;+infty), если n четно, (-infty;+infty), если n нечетно.

Доказательство. Равенство (sqrt[n]{p})^n=p верно при всех pge0, если n четно; при всех p, если n нечетно.

Функция строго возрастает на всей области определения.

Если n нечетно, то

    [y=sqrt[n]{x}Leftrightarrow x=y^n .]

График функции y=sqrt[n]{x} симметричен графику функции y=x^n относительно прямой y=x.

Если n четно, то

    [y=sqrt[n]{x}Leftrightarrowleft{begin{array}{l} x=y^n,\ xge0. end{array}right.]

Рис. 33 и рис. 34

График функции y=sqrt[n]{x} при четном n симметричен правой ветви графика функции y=x^n относительно прямой y=x (рис. 34).

III. displaystyle y={1over x^n},quad ninmathbb{N}.

Область определения (-infty;0)cup(0;+infty).

Множество значений [0;+infty), если n четно,

(-infty;+infty), если n нечетно.

Функция четна при четном n, нечетна при нечетном n.

Если n четно, то функция строго возрастает на (-infty;0) и строго убывает на (0;+infty).

Если n нечетно, то функция строго убывает на (-infty;0) и на (0;+infty).

На следующих рисунках представлены графики функций y=x^n,y=sqrt[n]{x} (рис. 35), displaystyle y=frac{1}{x^n} (рис. 36) для некоторых значений n.

Рис. 35

Рис. 36

Ссылка на основную публикацию