17. Дробно-линейная функция

Равнобочная гипербола

Исследуем функцию, заданную формулой displaystyle y={1over x}(xne0).

Функция строго убывает на (-infty;0) и на (0;+infty).

Доказательство. Пусть x_1>x_2, x_1 и x_2 одного знака. Тогда displaystyle {1over x_1}<{1over x_2}. (см. свойство неравенств 9).

Множество значений функции — mathbb{R}setminus{0}.

Доказательство. Пусть y_0ne0. Тогда displaystyle y_0={1over {1over y_0}}Rightarrowy_0 принадлежит множеству значений функции.

Определение. Множество точек плоскости, которое в какой-либо системе координат является графиком функции displaystyle f(x)={1over x}, называется равнобочной гиперболой.

График равнобочной гиперболы приведен на рис. 29:

Рис. 29

Равнобочная гипербола displaystyle y={1over x} симметрична относительно начала координат.

Определение. Функция, график которой симметричен относительно начала координат, называется нечетной функцией.

Пример. displaystyle y=x,y=x^3,y={1over x^7}, y=2x^3-5x^{11} — нечетные функции.

Определение. Прямые x=0 и y=0 называются асимптотами равнобочной гиперболы displaystyle y={1over x}.

Асимптоты перпендикулярны осям координат и проходят через
точки на этих осях, которые не принадлежат области определения или множеству значений функции displaystyle y={1over x}.

Преобразования системы координат

1) Изменение направления оси абсцисс

Гипербола — график функции displaystyle g_1(x)=f(-x)={1over -x}=-{1over x} (рис. 30).

Рис. 30

2) Изменение масштаба

Из Gamma_f получаем график функции

    [g_2(x)={1over k}f(kx)={1over k}cdot{1over kx}={1over k^2}cdot{1over x}.]

Из Gamma_{g_1} получается график функции

    [y=g_3(x)={1over k}g_1(kx)={1over k}cdotleft(-{1over kx}right)=-{1over k^2}cdot{1over x}.]

Таким образом, график любой функции displaystyle g_4(x)={pover x}(pne0) является равнобочной гиперболой.

Если p>0, нужно взять displaystyle k={1over sqrt{p}} и получить Gamma_{g_4(x)} из Gamma_{g_2(x)}.

Если p<0, нужно взять displaystyle k={1over sqrt{-p}} и получить Gamma_{g_4(x)} из Gamma_{g_3(x)}.

3) Сдвиг вдоль оси абсцисс

Из Gamma_{g_4(x)} получим график функции displaystyle g_5(x)={pover x+q}.

4) Сдвиг вдоль оси ординат

Из Gamma_{g_5(x)} получим Gamma_{g_6(x)}

    [g_6(x)={pover x+q}+r.]

Определение. Дробно-линейной функцией называется функция, заданная формулой

    [h(x)={ax+bover cx+d},]

где a,b,c,dinmathbb{R},cne0,bcne ad.

Область определения этой функции displaystylemathbb{R}setminusleft{{dover c}right}.

Теорема. График дробно-линейной функции — равнобочная гипербола.

Доказательство. Преобразуем дробь displaystyle {ax+bover cx+d} к виду displaystyle {pover x+q}+r(pne0):

    [{ax+bover cx+d}stackrel{cne0}{=}{{aover c}x+{bover c}over x+{dover c}}= {{aover c}left( x+{dover c}right)+left( {bover c}-{aover c}cdot{dover c}right)over x+{dover c}}={aover c}+{{bover c}-{adover c^2}over x+{dover c}} .]

Нужно взять displaystyle p={bover c}-{adover c^2}={bc-adover c^2}ne0, displaystyle q={dover c}, r={aover c}.

Практический прием построения графика дробно-линейной функции

1. Находится запрещенное значение x.

2. Находится запрещенное значение функции. Для этого из равенства displaystyle y={ax+bover cx+d} выражается x через y.

3. Наносим найденные точки на оси координат и проводим через них прямые, перпендикулярные осям — асимптоты графика.

4. Чтобы определить положение графика по отношению к асимптотам, находим одну точку графика.

5. Находим еще несколько точек и, учитывая, что гипербола симметрична относительно точки пересечения асимптот, строим ее.

Задачи.

1. Постройте графики функций

1) displaystyle y=2-frac{1}{x}.

2) displaystyle y=frac{2}{x-1}.

3) displaystyle y=frac{2x+1}{x-2}.

4) displaystyle y=frac{3|x|-x}{|x+1|+x}.

2. Для дробно-линейной функции, заданной формулой displaystyle f(x)=frac{2x+3}{x+1} найдите следующие множества:

1) f([0;2]).

2) f(-infty;-3)).

3) f^{-1}(1).

3. Изобразите на координатной плоскости фигуры, задаваемые уравнениями и неравенствами:

1) xy=y+1.

2) |xy|=x-y.

3) xy>1.

4) x^2y+xy^2le 2xy.

4. Вершины A и C прямоугольника ABCD лежат на гиперболе xy=1, а стороны прямоугольника параллельны координатным осям. Докажите, что прямая BD проходит через начало координат.

Ссылка на основную публикацию