15. Линейная функция

Определение. Пусть a и b — вещественные числа. Функция,   определенная на множестве mathbb{R} по правилу xrightarrow ax+b, называется линейной. Число a называется угловым коэффициентом, bсвободным членом этой функции.

Свойства линейной функции

Пусть varphi(x)=ax+b — линейная функция.

1. Если a>0, то varphi строго возрастает, если a<0, то varphi строго убывает.

Доказательство. Пусть x_1,x_2inmathbb{R},x_1>x_2,

    [varphi(x_1)-varphi(x_2)=(ax_1+b)-(ax_2+b)=a(x_1-x_2) ,]

    [x_1-x_2>0]

, так как

    [x_1>x_2,]

если a>0, то varphi(x_1)-varphi(x_2)>0,

если a<0, то varphi(x_1)-varphi(x_2)<0.

2. Пусть E_{varphi} — множество значений функции varphi. Если ane0, то E_{varphi}=mathbb{R}, если a=0, то E_{varphi}={ b}.

Доказательство. Случай a=0 очевиден. Пусть ane0. Пусть y — произвольное вещественное число. Нужно доказать, что число y является значением функции varphi, то есть что при некотором x выполняется равенство

    [ax+b=yLeftrightarrow ax=y-bLeftrightarrow x={y-bover a}.]

Итак, displaystyle y=varphileft({y-bover a}right). Следовательно, yin E_{varphi}.

3. Если ane0, то varphi имеет один корень displaystyle-{bover a}.

4. displaystylevarphileft(-{bover a}right)=0. Если a>0, то varphi строго возрастает, следовательно, при displaystyle x>-{bover a}varphi(x)>varphileft(-{bover a}right), то есть varphi(x)>0;

при displaystyle x<-{bover a}displaystyle varphi(x)<varphileft(-{bover a}right), то есть varphi(x)<0.

Если a<0, то varphi строго убывает, следовательно, при displaystyle x>-{bover a}displaystyle varphi(x)<varphileft(-{bover a}right), то есть varphi(x)<0;

при displaystyle x<-{bover a}displaystyle varphi(x)>varphileft(-{bover a}right), то есть varphi(x)>0.

5. Найдем среднюю скорость роста линейной функции на произвольном отрезке [alpha;beta](alphanebeta):

    [{varphi(beta)-varphi(alpha)over beta-alpha}={abeta+b-(aalpha+b)over beta-alpha}={a(beta-alpha)over beta-alpha}=a .]

Средняя скорость роста линейной функции постоянна и равна ее угловому коэффициенту.

Это свойство является характеристическим свойством линейной функции.

Теорема. Пусть функция f определена на множестве mathbb{R} и имеет постоянную среднюю скорость роста. Тогда f — линейная функция.

Доказательство. Пусть a — средняя скорость роста функции f, пусть b=f(a). Докажем, что

    [forall xinmathbb{R} f(x)=ax+b.]

Если xne0, то displaystyle {f(x)-f(0)over x-0}=a (это верно при x>0

Последнее равенство верно и для x=0.

6. График линейной функции — прямая.

Определение. Функция, определенная на всей числовой оси, называется кусочно-линейной, если числовую ось можно разбить на промежутки так, что внутри каждого из промежутков ненулевой длины эта функция линейна.

Примеры кусочно-линейных функций: f(x)=|x|, f(x)=[x] — целая часть числа, f(x)={ x}, где { x}=x-[x] — дробная часть числа, f(x)={rm sign}, x — знак числа x:

    [{rm sign}, x=left{begin{array}{rl} -1,& {rm if } x< 0,\ 0,& {rm if } x=0,\ 1,& {rm if } x> 0. end{array}right.]

Задачи.

1. Найдите уравнения прямых, удовлетворяющих условиям:

1) Прямая проходит через точки (2;0) и (-1;3).

2) Прямая проходит через точки (2;1) и (2;7).

3) Прямая проходит через начало координат и параллельна прямой y=2x-1.

4) Прямая проходит через точку (-1;2) и параллельна прямой 3x-5y=2.

5) Прямая равноудалена от точек (1;1) и (3;3) и перпендикулярна прямой, проходящей через эти точки.

2. Функция f задана формулой f(x)=5-3x. Найдите множества:

1) f([-1;3)).
2) f^{-1}((-1;+infty)).

3. Функция f задана формулой f(x)=ax+1. Для каждого из следующих утверждений найдите все значения f(x)=ax+1. Для каждого из следующих утверждений найдите все значения a, для которых оно справедливо:

1) f([1;3])=[3;7].
2) f^{-1}((2;5))=(-4;-1).
3) f([1;2])subseteq[-1;3].

4. Выясните, при каких значениях a справедливо следующее утверждение:

    [forall xin[-3;2)qquad (x^2le x vee ax < 2) .]

5. Изобразите г.м.т., задаваемое условиями:

1) xy=0.

2) frac{x+1}{y-2}=2.

3) y^2> y.

4) x^2> y^2.

5) Постройте графики функций:

1. y={ x}.

2. y={ x}+{rm sign}, x.

3. x+[x].

Ссылка на основную публикацию