14. Выпуклые функции

Определение. Пусть X — промежуток, f: Xtomathbb{R}. Функция f называется выпуклой, если всякий отрезок, соединяющий две произвольные точки графика функции f, лежит не ниже дуги графика функции f, соединяющей эти точки.

Пусть x_1,x_2in X,xin(x_1,x_2). Найдем ординату точки C. Из подобия треугольников ABD и ACE имеем

    [y=f(x_1)+{x-x_1over x_2-x_1}(f(x_2)-f(x_1)).]

Условие выпуклости функции f запишется следующим образом:

    [forall x_1,x_2in X x_1<x_2 forall xin[x_1,x_2]]

    [f(x)le f(x_1)+{x-x_1over x_2-x_1}(f(x_2)-f(x_1)).eqno(1)]

    [f(x)le{x_2-xover x_2-x_1}f(x_1)+{x-x_1over x_2-x_1}f(x_2).]

Перепишем это условие в несколько ином виде.

    [begin{array}{l} (x_2-x_1)f(x)le(x_2-x)f(x_1)+(x-x_1)f(x_2),\[2mm] ((x_2-x)+(x-x_1))f(x)le(x_2-x)f(x_1)+(x-x_1)f(x_2),\[2mm] (x_2-x)f(x)+(x-x_1)f(x)le(x_2-x)f(x_1)+(x-x_1)f(x_2),\[2mm] (x_2-x)(f(x)-f(x_1)le(x-x_1)(f(x_2)-f(x)). end{array}]

    [{f(x)-f(x_1)over x-x_1}le{f(x_2)-f(x)over x_2-x}.eqno(2)]

Очевидно, что (1)Leftrightarrow(2).

Функция выпукла в том и только в том случае, если forall x_1,x_2,x: x_1<x<x_2 выполняется условие (2).

Теорема (критерий выпуклости для дифференцируемых функций). Пусть f:Xtomathbb{R}, X — промежуток, функция f дифференцируема. Функция f является выпуклой тогда и только тогда, когда функция f^{prime} возрастает.

Доказательство. Rightarrow

Так как f выпукла, то выполняется неравенство (2). Перейдем к пределу в этом неравенстве сначала при xto x_1, а затем при xto x_2. По теореме о предельном переходе в неравенствах имеем

    [begin{array}{l} displaystyle lim_{xto x_1}{f(x)-f(x_1)over x-x_1}lelim_{xto x_1}{f(x_2)-f(x)over x_2-x},\[4mm] displaystyle f^{prime}(x_1)le{f(x_2)-f(x_1)over x_2-x_1},\[4mm] displaystyle lim_{xto x_2}{f(x)-f(x_1)over x-x_1}lelim_{xto x_2}{f(x_2)-f(x)over x_2-x},\[4mm] displaystyle {f(x_2)-f(x_1)over x_2-x_1}le f^{prime}(x_2). end{array}]

forall x_1,x_2,x_1<x_2f^{prime}(x_1)le f^{prime}(x_2), значит, f^{prime} возрастает.

Leftarrow

Возьмем любые x_1,x_2,xin X, x_1<x<x_2. Применим теорему Лагранжа к функции f на промежутке [x_1,x], а затем на [x,x_2]:

    [begin{array}{l} displaystyle exists c_1in (x_1,x): {f(x)-f(x_1)over x-x_1}=f^{prime}(c_1),\[4mm] displaystyle exists c_2in (x,x_2): {f(x_2)-f(x)over x_2-x}=f^{prime}(c_2),\[4mm] c_1<c_2. end{array}]

Так как f^{prime} возрастает, то f^{prime}(c_1)le f^{prime}(c_2)Rightarrow

    [{f(x)-f(x_1)over x-x_1}le {f(x_2)-f(x)over x_2-x}.]

Отсюда следует, что f выпукла.

Теорема. Пусть f:Xtomathbb{R}, X — промежуток, f дифференцируема. Тогда функция f выпукла тогда и только тогда, когда график функции f лежит выше всякой касательной к графику.

Доказательство. Уравнение касательной к графику функции f в точке с абсциссой a имеет вид

    [y=l(x), l(x)=f(a)+f^{prime} (a)(x-a).]

Rightarrow

Рассмотрим разность

    [f(x)-l(x)=f(x)-f(a)-f^{prime}(a)(x-a).]

По теореме Лагранжа, примененной к промежутку с концами a,x

    [exists cin(a,x): f(x)-f(a)=f^{prime}(c)(x-a).]

Так как f выпукла, то f^{prime} возрастает.

1)

    [begin{array}{l} a<xRightarrow c>aRightarrow f^{prime}(a)le f^{prime}(c)\[2mm] left.begin{array}{l} f^{prime}(c)-f^{prime}(a)ge0,\ x-a>0, end{array}right|Rightarrow f(x)-l(x)ge0,\ f(x)ge l(x). end{array}]

2)

    [begin{array}{l} x<aRightarrow c<aRightarrow f^{prime}(c)le f^{prime}(a)\[2mm] left.begin{array}{l} f^{prime}(c)-f^{prime}(a)le0,\ x-a<0, end{array}right|Longrightarrow f(x)-l(x)ge0,\ f(x)ge l(x). end{array}]

3)
x=a f(x)=l(x).

Значит, forall x f(x)ge l(x).

Rightarrow

    [begin{array}{ll} forall x,ain X&f(x)-f(a)-f^{prime}(a)(x-a)ge0,\ &f(x)-f(a)ge f^{prime}(a)(x-a),\ a<x&displaystyle {f(x)-f(a)over x-a}ge f^{prime}(a),\[4mm] a>x&displaystyle {f(x)-f(a)over x-a}le f^{prime}(a). end{array}]

Вместо a берем x, вместо xx_1:

    [{f(x_1)-f(x)over x_1-x}le f^{prime}(x).]

Вместо a берем x, вместо xx_2:

    [{f(x_2)-f(x)over x_2-x}ge f^{prime}(x).]

Отсюда

    [{f(x_2)-f(x)over x_2-x}ge {f(x_1)-f(x)over x_1-x}.]

Замечание. Рассмотренные нами выпуклые функции иногда называют выпуклыми вниз функциями. Аналогично определяются выпуклые вверх (вогнутые) функции, для которых справедливы аналогичные теоремы.

Определение. Если в окрестности точки a точки графика функции f лежат как выше, так и ниже касательной, то точка a называется точкой перегиба.

Определение выпуклости равносильно следующему

Утверждение. Функция f выпукла тогда и только тогда, когда forall x_1,x_2in Xforallalpha_1,alpha_2inmathbb{R}, alpha_1,alpha_2ge0, alpha_1+alpha_2=1

    [f(alpha_1x_1+alpha_2x_2)lealpha_1f(x_1)+alpha_2f(x_2).]

Это утверждение следует из следующего утверждения:

    [xin[x_1,x_2]Leftrightarrowexists alpha_1,alpha_2ge0, alpha_1+alpha_2=1: x=alpha_1x_1+alpha_2x_2.]

Доказательство. Необходимость. Пусть xin[x_1,x_2]. Положим alpha_2=1-alpha_1. Тогда

    [begin{array}{l} x=alpha_1x_1+(1-alpha_1)x_2,\[2mm] displaystyle alpha_1={x_2-xover x_2-x_1}, alpha_2={x-x_1over x_2-x_1}. end{array}]

Очевидно, что все условия на alpha_1,alpha_2 выполнены.

Достаточность. Пусть x=alpha_1x_1+alpha_2x_2, alpha_1,alpha_2ge0, alpha_1+alpha_2=1. Нужно доказать, что alpha_1x_1+alpha_2x_2in[x_1,x_2]. Докажем, что x_1lealpha_1x_1+alpha_2x_2.

    [begin{array}{l} (alpha_1-1)x_1+alpha_2x_2ge0,\ -alpha_2x_1+alpha_2x_2ge0,\ alpha_2(x_2-x_1)ge0 end{array}]

— а это очевидно.

Замечание. Доказано больше: forall xin[x_1,x_2] найдется единственная пара чисел alpha_1,alpha_2ge0, alpha_1+alpha_2=1, такая, что alpha_1x_1+alpha_2x_2=x, кроме того, получены формулы для alpha_1 и alpha_2.

Определение. Пара чисел alpha_1,alpha_2 называется барицентрическими координатами точки x.

Ссылка на основную публикацию