14. Числовые функции

Понятие функции

Чтобы задать функцию, требуется задать некоторое числовое множество D — область определения функции — и правило, по которому каждому числу из множества D ставится в соответствие некоторое вещественное число.

Если правило обозначено буквой f, то число, которое по этому правилу соответствует числу ain D, обозначают f(a) и называют значением функции fв точке a или образом элемента aпри отображении f.

Если Asubset D, то множество образов всех элементов множества A называют образом множества A при отображении f и обозначают f(A). Множество f(A) называют также множеством значений функции f.

Способы задания функций

I. Формулой

Пример 1.

1) displaystyle f(x)={3x^2-5over x^2+4},quad D=mathbb{R},

2) displaystyle h(x)={3x^2-5over x^2+4},quad D=[0;3],

3) [x],{ x},{rm sign}, x,|x|.

II. Таблицей

D — конечное множество и выписаны все значения функции.

III. Графиком

Определение. График функции f — множество всех точек координатной плоскости, абсцисса которых — число из области определения функции, а ордината точки с абсциссой a равна f(a):

    [Gamma_f=left{(a;f(a))|ain D_fright}.]

Множество точек координатной плоскости является графиком какой-либо функции в том и только том случае, если в этом множестве не встречается двух точек с одинаковой абсциссой (иначе: любая прямая, параллельная оси ординат, пересекает это множество не более, чем в одной точке). Если функция задана графиком, то ее область определения — это проекция графика на ось абсцисс. Множество значений функции — это проекция графика на ось ординат.

Определение. Пусть функция f определена на множестве D, а множество E — множество значений f. Пусть Bsubset E. Тогда множество { xin D|f(x)in B} называется прообразом множества B при отображении f и обозначается f^{-1}(B).

Замечание. Если множество B состоит из одного элемента b, то будем писать f^{-1}(b).

Определение. Пусть f определена на множестве D. Пусть Xsubset D. Говорят, что функция fвозрастает (строго возрастает) [убывает] {строго убывает} на множестве X, если для любых x_1,x_2in X: x_1>x_2 справедливо неравенство f(x_1)ge f(x_2)(f(x_1)>f(x_2))[f(x_1)le f(x_2)]{ f(x_1)<f(x_2) }.

Обозначения: fnearrow — возрастает;

fnearrow — строго возрастает;

fsearrow — убывает;

fsearrow — строго убывает.

nearrow

searrow

Определение. Нулем функции f называется любое решение уравнения f(x)=0.

Нуль функции f(x) называется также корнем уравнения f(x)=0.

Определение. Средней скоростью роста функции f на отрезке [a;b], входящем в ее область определения (ane b), называется число displaystyle {f(b)-f(a)over b-a}.

Ссылка на основную публикацию