10. Производные тригонометрических функций*

Теорема. Пусть {bf r} — вектор-функция, траектория которой — окружность. Тогда forall t из области определения {bf r}{bf r}(t)bot{bf r}^{prime}(t).

Доказательство.

1) Так как {bf r}^{prime}(t) направлен по касательной к окружности, проходящей через конец вектора {bf r}(t), то по теореме о радиусе, проведенном в точку касания, получаем, что {bf r}(t)bot{bf r}^{prime}(t).

2) (не используя то, что вектор {bf r}^{prime}(t) направлен по касательной)

Пусть R — радиус окружности, |{bf r}(t)|=R. Тогда

    [begin{array}{l} forall t {bf r}(t)cdot{bf r}(t)=R^2,\[2mm] {bf r}^{prime}(t){bf r}(t)+{bf r}(t){bf r}^{prime}(t)=0,\[2mm] 2{bf r}^{prime}(t){bf r}(t)=0,\[2mm] {bf r}^{prime}(t){bf r}(t)=0,\[2mm] {bf r}(t)bot{bf r}^{prime}(t) . end{array}]

Теорема (вычисление производной синуса и косинуса).

    [forall t begin{array}{l} sin^{prime} t=cos t,\[2mm] cos^{prime} t=-sin t . end{array}]

Доказательство. Рассмотрим единичную окружность с центром в начале координат. Будем считать, что {bf i} и {bf j} — декартов базис множества векторов на плоскости. Рассмотрим вектор-функцию

    [{bf r}(t)={bf i}cos t+{bf j}sin t .]

    [forall t {bf r}^{prime}(t)=(cos^{prime}t,sin^{prime}t) .]

Так как {bf r}^{prime}(t)bot{bf r}(t), а |{bf r}^{prime}(t)|=1 (так как движемся с единичной скоростью) — {bf r}^{prime} — вектор единичной длины, перпендикулярный данному. Тогда

    [begin{array}{l} {bf r}(t)=(cos t,sin t),\[2mm] {bf r}^{prime}(t)=(-sin t,cos t) vee {bf r}^{prime}(t)=(sin t,-cos t). end{array}]

Вектор {bf r}^{prime}(t) получается поворотом {bf r}(t) на pi/2. Тем самым, {bf r}^{prime}(t)={bf r}(t+pi/2) и

    [{bf r}^{prime}(t)=(cos(t+pi/2),sin(t+pi/2))=(-sin t,cos t) .]

Ссылка на основную публикацию